Абсолютная погрешность
Причины возникновения погрешности измерения
Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.
Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.
Виды погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Теоретическая погрешность
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Систематическая и случайная погрешности
Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.
Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.
Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.
Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.
Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.
Определение абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:
$$ \Delta x = |x_{изм}-x_{ист} | $$
Например:
При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:
№
1
2
3
4
5
$m_i,г$
98,4
99,2
98,1
100,3
98,5
$\Delta m_i, г$
1,6
0,8
1,9
0,3
1,5
Граница абсолютной погрешности – это величина h: $ |x-x_{ист}| \le h $
Для оценки границы абсолютной погрешности на практике используются статистические методы.
Алгоритм оценки абсолютной погрешности в серии прямых измерений
Шаг 1. Проводим серию из N измерений, в каждом из которых получаем значение измеряемой величины $x_i, i = \overline{1, N}$.
Шаг 2. Находим оценку истинного значения x как среднее арифметическое данной серии измерений:
$$ a = x_{cp} = \frac{x_1+x_2+ \cdots +x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N x_i $$
Шаг 3. Рассчитываем абсолютные погрешности для каждого измерения:
$$ \Delta x_i = |x_i-a| $$
Шаг 4. Находим среднее арифметическое абсолютных погрешностей:
$$ \Delta x_{cp} = \frac{\Delta x_1+ \Delta x_2+ \cdots + \Delta x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N \Delta x_i $$
Шаг 5. Определяем инструментальную погрешность при измерении как цену деления прибора (инструмента) d.
Шаг 6. Проводим оценку границы абсолютной погрешности серии измерений, выбирая большую из двух величин:
$$ h = max \{d; \Delta x_{cp} \} $$
Шаг 7. Округляем и записываем результаты измерений в виде:
$$ a-h \le x \le a+h или x = a \pm h $$
Значащие цифры и правила округления результатов измерений
Значащими цифрами – называют все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Например:
0,00501 - три значащие цифры 5,0 и 1.
5,01 - три значащие цифры.
5,0100 – пять значащих цифр; такая запись означает, что величина измерена с точностью 0,0001.
Внимание!
Правила округления.
Погрешность измерения округляют до первой значащей цифры, всегда увеличивая ее на единицу (округление по избытку, “ceiling”).
Округлять результаты измерений и вычислений нужно так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.
Например: если при расчетах по результатам серии измерений получена оценка истинного значения a=1,725, а оценка абсолютной погрешности h = 0,11, то результат записывается так:
$$ a \approx 1,7; h \approx ↑0,2; 1,5 \le x \le 1,9 или x = 1,7 \pm 0,2 $$
Примеры
Пример 1. При измерении температура воды оказалась в пределах от 11,55 ℃ до 11,63 ℃. Какова абсолютная погрешность этих измерений?
По условию $11,55 \le t \le 11,63$. Получаем систему уравнений:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a-h = 11,55 \\ a+h = 11,63 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 2a = 11,55+11,63 = 23,18 \\ 2h = 11,63-11,55 = 0,08 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 11,59 \\ h = 0,04\end{array} \right.} $$
$$ t = 11,59 \pm 0,04 ℃ $$
Ответ: 0,04 ℃
Пример 2. По результатам измерений найдите границы измеряемой величины. Инструментальная погрешность d = 0,1.
№
1
2
3
4
5
6
7
$x_i$
15,3
16,4
15,3
15,8
15,7
16,2
15,9
Находим среднее арифметическое:
$$ a = x_{ср} = \frac{15,3+16,4+ \cdots +15,9}{7} = 15,8 $$
Находим абсолютные погрешности:
$$ \Delta x_i = |x_i-a| $$
№
1
2
3
4
5
6
7
$ \Delta x_i$
0,5
0,6
0,5
0
0,1
0,4
0,1
Находим среднее арифметическое:
$$ \Delta x_{ср} = \frac{0,5+0,6+ \cdots + 0,1}{7} \approx 0,31 \gt d $$
Выбираем большую величину:
$$ h = max \{d; \Delta x_{ср} \} = max \{0,1; 0,31\} = 0,31 $$
Округляем по правилам округления по избытку: $h \approx ↑0,4$.
Получаем: x = 15, $8 \pm 0,4$
Границы: $15,4 \le x \le 16,2$
Ответ: $15,4 \le x \le 16,2$
Пример 3*. В первой серии экспериментов было получено значение $x = a \pm 0,3$. Во второй серии экспериментов было получено более точное значение $x = 5,631 \pm 0,001$. Найдите оценку средней a согласно полученным значениям x.
Более точное значение определяет более узкий интервал для x. По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a-0,3 \le x \le a+0,3 \\ 5,630 \le x \le 5,632 \end{array} \right.} \Rightarrow a-0,3 \le 5,630 \le x \le 5,632 \le a+0,3 \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a-0,3 \le 5,630 \\ 5,632 \le a+0,3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a \le 5,930 \\ 5,332 \le a \end{array} \right.} \Rightarrow 5,332 \le a \le 5,930 $$
Т.к. a получено в серии экспериментов с погрешностью h=0,3, следует округлить полученные границы до десятых:
$$ 5,3 \le a \le 5,9 $$
Ответ: $ 5,3 \le a \le 5,9 $
