Вынесение общего множителя многочлена за скобки
Алгоритм вынесения общего множителя многочлена за скобки
- Найти общий множитель для членов многочлена. Общий множитель для целых коэффициентов – это наибольший общий делитель, для степеней с одинаковым основанием – степень с наименьшим показателем.
- Вынести общий множитель за скобку. В скобках останется частное от деления многочлена на одночлен (общий множитель) (см.§18 данного справочника).
Внимание! Правильность разложения многочлена на множители можно проверить умножением полученных множителей.
Научитесь делать проверку в уме, и у вас не будет ошибок.
Примеры
Пример 1. Вынесите общий множитель за скобки:
а) $ abc-2a^3+ac^2 = a(bc+2a^2+c^2 )$
б) $ 16x^2 y+24xyz-8xy^2 = 8xy(2x+3z-y)$
в) $17ax-51a^2 x+34x = 17x(a-3a^2+2)$
г) $ab-a^2+ac = a(b-a+c)$
Пример 2. Разложите на множители:
а) 2x(x+1)-3(x+1) = (2x-3)(x+1)
б) $ a(x^2+y^2 )+b(x^2+y^2 ) = (a+b)(x^2+y^2 )$
в) a(b-c)-d(c-b) = a(b-c)+d(b-c) = (a+d)(b-c)
г) x(y-z)-y+z = x(y-z)-(y-z) = (x-1)(y-z)
д) $2(x+y)(x-y)-(x+y)^2 = (x+y)(2(x-y)+(x+y) ) = (x+y)(2x-2y+x+y) = (x+y)(3x-y)$
е) $5a(a-b)^2-7a^2 (b-a) = 5a(a-b)^2+7a^2 (a-b) = a(a-b)(5(a-b)+7a) = a(a-b)(12a-5b) $
Пример 3. Вычислите значение выражения:
а) 168,5x(x-y)+168,5y(x-y), если x = 1,y = -1
168,5x(x-y)+168,5y(x-y) = 168,5(x+y)(x-y)
Подставляем: 168,5(1-1)(1+1) = 0
б) 6,48xy-$x^2$, если x = 5,48 и y = 1
6,48xy-$x^2$ = x(6,48y-x)
Подставляем: 5,48 ∙(6,48∙1-5,48 ) = 5,48
Пример 4. Вынесите за скобки числовой множитель:
а) $(4x+8)^3 = (4(x+2) )^3 = 4^3 (x+2)^3 = 64(x+2)^3$
б) $(15-5a)^4 = (5(3-a) )^4 = 5^4 (3-a)^4 = 625(3-a)^4$
Пример 5. Вынесите за скобки общий множитель:
а) $(xy^2-y^3 )^3 = (y^2 (x-y) )^3 = y^6 (x-y)^3$
б) $(0,4a^3-0,7a^5 )^2 = (0,1a^3 (4-7a^2 ) )^2 = 0,01a^6 (4-7a^2 )^2$
