Возведение суммы и разности двух выражений в n-ю степень
Формула для квадрата и куба бинома
Сумма или разность двух выражений образует двучлен, который также называют биномом. Примеры биномов: x+y, $1+k^2,2mq^2-5z,100a-17b^2 c^3$ и т.д.
Формулы для квадрата и куба бинома мы уже получили в §21 и §23 данного справочника.
$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3, \qquad (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$
Формулы для четвёртой и пятой степени бинома
Выведем формулы для 4-й степени:
$(a+b)^4 = (a+b) (a+b)^3 = a(a+b)^3+b(a+b)^3 =$
$ = a(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 )+b(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 ) =$
$= a^4+3a^3 b+3a^2 b^2+ab^3+a^3 b+3a^2 b^2+3ab^3+b^4 =$
$= a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$
Для разности в 4-й степени нужно только поменять знаки при нечётных степенях b.
Получаем:
$(a+b)^4 = a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4$
$(a-b)^4 = a^4-4a^3 b+6a^2 b^2-4ab^3+b^4$
Теперь выведем формулы для 5-й степени:
$(a+b)^5 = (a+b) (a+b)^4 = a(a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4 )+$
$+b(a^4+4a^3 b+6a^2 b^2+4ab^3+b^4 ) =$
$= a^5+4a^4 b+6a^3 b^2+4a^2 b^3+ab^4+a^4 b+4a^3 b^2+6a^2 b^3+4ab^4+b^5 =$
$= a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b^5$
Для разности в 5-й степени нужно только поменять знаки при нечётных степенях b.
Получаем:
$(a+b)^5 = a^5+5a^4 b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5ab^4+b^5$
$(a-b)^5 = a^5-5a^4 b+10a^3 b^2-10a^2 b^3+5ab^4-b^5$
Треугольник Паскаля
Коэффициенты при членах разложения биномов постепенно становятся больше. Их рост можно представить с помощью треугольника Паскаля.
$$(a \pm b)^1 = a \pm b$$ $$(a\pmb)^2 = a^2\pm2ab+b^2$$ $$(a\pmb)^3 = a^3\pm3a^2 b+3ab^2±b^3$$ $$(a\pmb)^4 = a^4\pm4a^3 b+6a^2 b^2\pm4ab^3+b^4$$ ...
В этом треугольнике коэффициенты этажом ниже – это сумма соседних коэффициентов этажом выше; на рисунке каждая сумма обозначена знаком «+» между стрелочками.
Формула для n-ой степени бинома
Теперь для n-й степени бинома можем записать:
$$ (a + b)^n = a^n+C_1^n a^{n-1} b + C_2^n a^{n-2} b^2 + ⋯ + b^n $$
где $C_i^n$ - биномиальные коэффициенты, которые для небольших степеней можно найти с помощью треугольника Паскаля.
Формула для разности немного сложней:
$$ (a - b)^n = a^n-C_1^n a^{n-1} b + C_2^n a^{n-2} b^2 - C_3^n a^{n-3} b^3 +⋯+(-1)^n b^n $$
Биномиальные коэффициенты играют большую роль в современной математике. В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже.
В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже (см. §36 справочника для 9 класса)
Биномиальные коэффициенты играют большую роль в современной математике. В общем случае для них есть расчётная формула, которую мы выучим позже.
Примеры
Пример 1. Представьте в виде многочлена:
а) $(1+k)^4$
Коэффициенты по треугольнику Паскаля: $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$
Получаем:
$$(1+k)^4 = 1+4k+6k^2+4k^3+k^4$$
б) $(1-k)^4$
Коэффициенты по модулю те же, знаки поменяются перед слагаемыми с нечётными степенями k:
$$(1-k)^4 = 1-4k+6k^2-4k^3+k^4$$
в) $(a+b)^7$
Коэффициенты по треугольнику Паскаля: $1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1$
Получаем:
$$(a+b)^7 = a^7+7a^6 b+21a^5 b^2+35a^4 b^3+35a^3 b^4+21a^2 b^5+7ab^6+b^7$$
г) $(a-b)^7$
Коэффициенты по модулю те же, знаки поменяются перед слагаемыми с нечётными степенями b:
$$ (a-b)^7 = a^7-7a^6 b+21a^5 b^2-35a^4 b^3+35a^3 b^4-21a^2 b^5+7ab^6-b^7 $$
Пример 2. Упростите выражение:
а) $(x+y)^4-(x-y)^4 = (x^4+4x^3 y+6x^2 y^2+4xy^3+y^4 )-$
$-(x^4-4x^3 y+6x^2 y^2-4xy^3+y^4 ) = 8x^3 y+8xy^3$
б) $(x+y)^4+(x-y)^4 = (x^4+4x^3 y+6x^2 y^2+4xy^3+y^4 )+$
$+(x^4-4x^3 y+6x^2 y^2-4xy^3+y^4 ) = 2x^4+126x^2 y^2+2y^4 $
в) $(x+y)^5-(x-y)^5 = (x^5+5x^4 y+10x^3 y^2+10x^2 y^3+5xy^4+y^5 )-$
$-(x^5-5x^4 y+10x^3 y^2-10x^2 y^3+5xy^4-y^5 ) = 10x^4 y+20x^2 y^3+2y^5$
г) $(x+y)^5+(x-y)^5 = (x^5+5x^4 y+10x^3 y^2+10x^2 y^3+5xy^4+y^5 )+$
$+(x^5-5x^4 y+10x^3 y^2-10x^2 y^3+5xy^4-y^5 ) = 2x^5+20x^3 y^2+10xy^4$
