Уравнение с двумя переменными
Уравнение с двумя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by = c, где a,b,c - данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.
Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac{1}{2}$ x-8y = 7
Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x и y.
Например: $2x^2+y^2 = 3, x-5y^2 = 1, 7x^3+y = 7$
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары
x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Свойства уравнения с двумя переменными
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.
Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:
- если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
- если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$
Примеры
Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:
Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10
1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10
2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 - искомое выражение y(x).
Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac{1}{3} y+3 \frac{1}{3}$
Линейное уравнение
y(x)
x(y)
а) 4x+5y = 20
$y = - \frac{4}{5} x+4$
$x=-1 \frac{1}{4} y+5$
б) 3x-2y = 11
y = 1,5x-5,5
$x = \frac{2}{3} y+3 \frac{2}{3}$
в) x+7y = 8
$ y = - \frac{x}{7}+1 \frac{1}{7}$
x = -7y+8
г) 2x-11y = 22
$y = \frac{2}{11} x-2$
x = 5,5y+11
Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:
Алгоритм: рассмотрим (1;5)
1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y
2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 - это искомое уравнение.
Решение
Уравнение
а) (2;3)
2x+y = 7
б) (0;5)
x-7y = -35
в) (-1;1)
5x+3y = -2
г) (4;5)
x+y = 9
Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:
а) (1;5) и (2;4)
Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+5b = c \\ 2a+4b = c \end{array} \right.} \Rightarrow a+5b = 2a+4b \Rightarrow a = b $$
Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6
x+y = 6 - искомое уравнение.
б) (0;2) и (2;5)
Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 0+2b = c \\ 2a+5b = c \end{array} \right.} \Rightarrow 2b = 2a+5b \Rightarrow a = -1,5b $$
Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:
$3x-2y = 3\cdot0-2\cdot2 = 3\cdot2-2\cdot5 = -4$
3x-2y = -4 - искомое уравнение.
Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.
Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).
По условию: 10a+b = 2(a+b)
$$10a+b = 2a+2b \Rightarrow 8a = b$$
Единственное возможное решение: a = 1, b = 8
Ответ:18
Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.
Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).
По условию: (10a+b)(a+b) = 370
Разложим 370 на простые множители: $370 = 2\cdot5\cdot37$
Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}
Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $\frac{370}{a+b} = \frac{370}{2} = 185 - не \quad двузначное \quad число \Rightarrow$
$a+b \neq 2$
Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $\frac{370}{5} = 74 \Rightarrow a = 7, b = 4, a+b \neq 5$.
Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $\frac{370}{10} = 37 \Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.
Значит, искомое число 37.
Ответ: 37
