Упрощение выражений с алгебраическими дробями

Примеры

Пример 1. Упростите выражение:

а) $ \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} +1\right): \frac{a^3-b^3}{a^2 b} = \left(\frac{a^2+b^2+ab}{ab}\right) \cdot \frac{a^2 b}{(a-b)(a^2+ab+b^2 )} = \frac{a}{a-b}$

б) $ \frac{y+2}{y} \cdot \left(\frac{1}{y-2} - \frac{1}{2+y} +1\right) = \frac{y+2}{y} \cdot \left(\frac{y+2-(y-2)+(y^2-4)}{(y-2)(y+2)}\right) = \frac{y+2}{y} \cdot \frac{y^2}{(y-2)(y+2)} = \frac{y}{y-2} $

в) $ \left(\frac{1}{x+y} - \frac{x}{x^2+2xy+y^2}\right): \left(\frac{1}{x+y} - \frac{x}{x^2-y^2} \right) = \left(\frac{1}{x+y} - \frac{x}{(x+y)^2}\right):\left(\frac{1}{x+y}-\frac{x}{(x+y)(x-y)}\right) =$

$ = \left(\frac{x+y-x}{(x+y)^2}\right) : \left(\frac{x-y-x}{(x+y)(x-y)}\right) = \frac{y}{(x+y)^2} \cdot \frac{(x+y)(x-y)}{(-y)} = -\frac{x-y}{x+y}$

г) $ \left(\frac{2k}{3m-2k}- \frac{4k^2}{9m^2-4k^2}\right): \left(\frac{2k}{9m^2-12mk+4k^2}+ \frac{1}{3m-2k}\right) = $

$= \left(\frac{2k}{3m-2k}- \frac{4k^2}{(3m-2k)(3m+2k)}\right): \left(\frac{2k}{(3m-2k)^2}+ \frac{1}{3m-2k}\right)$

$ = \left(\frac{2k(3m+2k)-4k^2}{(3m-2k)(3m+2k)}\right) :\left(\frac{2k+(3m-2k)}{(3m-2k)^2}\right) = $

$ = \frac{2k(3m+2k-2k)}{(3m-2k)(3m+2k)} \cdot \frac{(3m-2k)^2}{3m} = \frac{2k\cdot3m}{(3m+2k)} \cdot \frac{(3m-2k)}{3m} =\frac{2k(3m-2k)}{3m+2k} $

Пример 2. Найдите значение выражения, если $a = \frac{1}{2}$, b = 2

$ \left(\frac{2}{a-b}- \frac{2a}{(a-b)^2}\right): \frac{a^2+ab+b^2}{b^2-ab} = \left(\frac{2(a-b)-2a}{(a-b)^2}\right)\cdot \frac{b(b-a)}{a^2+ab+b^2} = $

$ =-\frac{2b}{(a-b)^2} \cdot \frac{b(b-a)}{(a^2+ab+b^2 )} = \frac{2b}{(a-b)^2} \cdot \frac{b(a-b)}{(a^2+ab+b^2 )} = \frac{2b^2}{a^3-b^3} $

Подставляем:

$$ \frac{2\cdot2^2}{(\frac{1}{2})^3-2^3} = \frac{8}{\frac{1}{8}-8} = 8:(-7\frac{7}{8}) = -8:\frac{56+7}{8} = - \frac{8\cdot8}{63} = - \frac{64}{63} = -1 \frac{1}{63} $$

Пример 3. Найдите $x^2+\frac{1}{x^2}$ , если $x+ \frac{1}{x} = a$

Найдём квадрат данного выражения:

$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2+2x\cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2+ \frac{1}{x^2} +2 = a^2 $

Значит:

$$x^2+\frac{1}{x^2} = a^2-2 $$

Ответ: $a^2-2$

Пример 4*. Найдите $x^3+\frac{1}{x^3}$ , если $x+ \frac{1}{x} = a$

Найдём квадрат данного выражения:

$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 = x^3+3x^2\cdot \frac{1}{x}+3x\cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = x^3+3x+3\cdot \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^3} = $$

$$ =\left(x^3+ \frac{1}{x^3}\right)+3\left( \underbrace{x+\frac{1}{x}}_{=a\text{}}\right) = a^3 $$

Получаем:

$$ x^3+ \frac{1}{x^3} = a^3-3a = a(a^2-3) $$

Ответ: $a(a^2-3)$

Пример 5*. Доказать, что если

$$a^3+b^3+c^3+abc = 0,a \neq -b,a \neq -c,b \neq -c$$

то

$$ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{a+c}+ \frac{c}{a+b} = 1 $$

Найдём сумму:

$$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = \frac{a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(b+c)(a+c)}{(b+c)(a+c)(a+b)} =$$

$$= \frac{a(a^2+ab+ac+bc)+b(b^2+ab+ac+bc)+c(c^2+ab+ac+bc)}{(b+c)(a+c)(a+b)} =$$

$$ = \frac{a^3+b^3+c^3+a(ab+ac+bc)+(b+c)(ab+ac+bc)}{(b+c)(a+c)(a+b)} = $$

$$ = \frac{(\underbrace{a^3+b^3+c^3+abc}_{=0\text{ }})+a(ab+ac)+(b+c)(ab+ac+bc)}{(b+c)(a+c)(a+b)} = $$

$$= \frac{(b+c)(a^2+ab+ac+bc)}{(b+c)(a+c)(a+b)} = \frac{a(a+b)+c(a+b)}{(a+c)(a+b)} = \frac{(a+c)(a+b)}{(a+c)(a+b)} = 1$$

Что и требовалось доказать.