Умножение многочлена на одночлен

Правило умножения многочлена на одночлен

По этому правилу также можно умножить одночлен на многочлен, так как множители можно менять местами.

О том, как умножить одночлен на другой одночлен (член многочлена) – см. §13 данного справочника.

Примеры

Пример 1. Выполните умножение:

а) $y^3-5y^2+4 и 2y$

$(y^3-5y^2+4 ) \cdot 2y = y^3 \cdot 2y-5y^2 \cdot 2y+4 \cdot 2y = 2y^4-10y^3+8y $

б) $ a^2+ab+b^2 и 2ab $

$ (a^2+ab+b^2 ) \cdot 2ab = a^2 \cdot 2ab+ab \cdot 2ab+b^2 \cdot 2ab = 2a^3 b+2a^2 b^2+2ab^3 $

в) $\frac{1}{3} x^4+5x^3-4 и \frac{1}{4} x^2 y$

$ (\frac{1}{3} x^4+5x^3-4 )\cdot \frac{1}{4} x^2 y = \frac{1}{3} x^4 \cdot \frac{1}{4} x^2 y+5x^3 \cdot \frac{1}{4} x^2 y-4\cdot \frac{1}{4} x^2 y = \frac{1}{12} x^6 y+1 \frac{1}{4} x^5 y-x^2 y $

г) $ 0,8t^4+1,5t-0,2 и 10t^3$

$ (0,8t^4+1,5t-0,2 )\cdot 10t^3 = 0,8t^4 \cdot 10t^3+1,5t \cdot 10t^3-0,2 \cdot 10t^3 = 8t^7+15t^4-2t^3 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $ 3xy+2x^2 y-xy(3+2x)+7 = 3xy+2x^2 y-3xy-2x^2 y+7 = 7 $

б) $ x^3-x(x^2-1)-0,5 = x^3-x^3+x-0,5 = x-0,5 $

в) $ 3ax^2+ax-ax(3x-5) = 3ax^2+ax-3ax^2+5ax = 6ax $

г) $ \frac{1}{5} x^2 y+x^3-x^2 (y+x) = \frac{1}{5} x^2 y+x^3-x^2 y-x^3 = -\frac{4}{5} x^2 y $

Пример 3. Решите уравнение:

а) 2(x+8)-3(x+5) = x-1

2x+16-3x-15 = x-1

2x-3x-x = -1-16+15

-2x = -2

x = 1

б) $ \frac{1}{2} (x+5)-4(8-x) = 12,5+x $

$ \frac{1}{2} x+\frac{5}{2}-32+4x = 125+x $

0,5x+4x-x = 12,5-2,5+32

3,5x = 42

x = 12

Пример 4. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $3(x^3+4)-5x(x^2+x)+2x^2 (x+2,5) = 3x^3+12-5x^3-5x^2+2x^3+5x^2 = 12$

б) $5ab-4(a^2-1)+a(4a-5b) = 5ab-4a^2+4+4a^2-5ab = 4$

Пример 5. Сумма двух чисел равна 50. Если первое число умножить на 7, а второе на 2, сумма этих произведений равна 195. Найдите эти числа.

Пусть x - первое число. Тогда второе 50-x. Получаем:

7x+2(50-x) = 195

7x+100-2x = 195

5x = 195-100

5x = 95

x = 19 - первое число

50-x = 50-19 = 31 - второе число

Ответ: 19 и 31

Пример 6. Сколько лет человеку, если известно, что через 20 лет он будет в 3 раза старше, чем был 20 лет тому назад?

Пусть x лет – возраст человека сегодня. По условию:

x+20 = 3(x-20)

x+20 = 3x-60

x-3x = -60-20

-2x = -80

x = 40

Ответ: 40 лет

Пример 7. Докажите, что при любом значении переменной выражение всегда положительно:

$$ 5x(3x^2-1)-6x(x^2+1)-3x(3x^2+7)+32(x+1) = $$

$$ = 15x^3-5x-6x^3-6x-9x^3-21x+32x+32 = 32 \gt 0 $$

Значение выражения не зависит от значения переменной и всегда положительно.

Пример 8*. При каком значении параметра a многочлен $2y^3+5ay^2-ay-1$ принимает одинаковые значения при y = 1 и y = -1?

Введем обозначение P(y;a) = $2y^3+5ay^2-ay-1$

Подставим данные значения y.

$ P(1;a) = 2\cdot1^3+5a\cdot1^2-a\cdot1-1 = 4a+1 $

$P(-1;a) = 2 \cdot (-1)^3+5a \cdot (-1)^2-a \cdot (-1)-1 = 6a-3$

По условию: $ P(1;a) = P(1;a) \Rightarrow 4a+1 = 6a-3 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 $

Ответ: 2