Умножение и деление алгебраических дробей
Правило умножения алгебраических дробей
Числитель произведения дробей равен произведению их числителей, знаменатель произведения дробей равен произведению их знаменателей:
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad b ≠ 0, d ≠ 0$$
Например:
$$ \frac{a-2}{a+b} \cdot \frac{a+3}{a-b} = \frac{(a-2)(a+3)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2+a-6}{a^2-b^2} $$
Правило деления алгебраических дробей
Частное двух алгебраических дробей равно произведению первой дроби на дробь, обратную второй дроби:
$$ \frac{a}{b}: \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}, \qquad b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0$$
Например:
$$ \frac{a-b}{x-1}: \frac{x+1}{a+b} = \frac{a-b}{x-1} \cdot \frac{a+b}{x+1} = \frac{(a-b)(a+b)}{(x-1)(x+1)} = \frac{a^2-b^2}{x^2-1}$$
Внимание!
Перед делением и умножением алгебраических дробей раскладывайте их на множители. Это избавит вас от лишних действий и сэкономит время, т.к. дроби часто можно сократить.
Например:
$$ \frac{a^2-9}{x^2+4x+4} \cdot \frac{x+2}{a+3} = \frac{(a-3)(a+3)}{(x+2)^2} \cdot \frac{(x+2)}{(a+3)} = \frac{a-3}{x+2} $$
Примеры
Пример 1. Выполните умножение алгебраических дробей:
а)$ \frac{8a^2 m}{3cd} \cdot \frac{c^2}{2ab} = \frac{4am}{3d} \cdot \frac{c}{b} = \frac{4acm}{3bd}$
б) $ \frac{1-x}{3ab} \cdot \frac{a^2 b}{1-x^2} = \frac{1-x}{3} \cdot \frac{b}{(1-x)(1+x)} = \frac{b}{3(1+x)} $
в) $ \frac{a^2-ab}{b} \cdot \frac{b^3}{a-b} = \frac{a(a-b)}{1} \cdot \frac{b^2}{(a-b)} = ab^2 $
г) $ \frac{1+k}{15b} \cdot \frac{3a^2 b^2}{k^2-1} = \frac{k+1}{5} \cdot \frac{a^2 b}{(k+1)(k-1)} = \frac{a^2 b}{5(k-1)} $
Пример 2. Выполните деление алгебраических дробей:
а) $ \frac{1}{ax-ay} : \frac{x+y}{a^2} = \frac{1}{a(x-y)} \cdot \frac{a^2}{x+y} = \frac{a}{(x-y)(x+y)} = \frac{a}{x^2-y^2} $
б) $ \frac{49a^3 b^4}{cd} : \frac{7ab^3}{c^2} = \frac{49a^3 b^4}{cd} \cdot \frac{c^2}{7ab^3} = \frac{7a^2 b}{d} \cdot \frac{c}{1} = \frac{7a^2 bc}{d} $
в) $ \frac{3x+6y}{x^2-4xy+4y^2} : \frac{x+2y}{x-2y} = \frac{3(x+2y)}{(x-2y)^2} \cdot \frac{x-2y}{x+2y} = \frac{3}{x-2y}$
г) $ \frac{2m}{m+4k} : \frac{4m^2}{m^2+8mk+16k^2} = \frac{2m}{m+4k} \cdot \frac{(m+4k)^2}{4m^2} = \frac{m+4k}{2m}$
Пример 3. Упростите выражение:
а) $ \frac{x-4}{x^2+8x+16} \cdot \frac{2x+8}{3x-12} = \frac{(x-4)}{(x+4)^2} \cdot \frac{2(x+4)}{3(x-4)} = \frac{2}{3(x+4)} $
б) $ \frac{b-9a}{a+3} : \frac{b^2-18ab+81a^2}{a^2-9} = \frac{(b-9a)}{(a+3)} \cdot \frac{(a+3)(a-3)}{(b-9a)^2} = \frac{a-3}{b-9a} $
Пример 4. Выразите x из данных уравнений $(a ≠ 0, a ≠ \pm b, a ≠ -\frac{4}{3}b)$:
а) $ \frac{x}{a^2-b^2} = \frac{a}{a+b} \Rightarrow x = \frac{a}{a+b} \cdot (a^2-b^2 ) = \frac{a(a-b)(a+b)}{a+b} = a(a-b)$
б) $ \frac{ax}{3a+4ab} = \frac{a-b}{9+24b+16b^2} \Rightarrow x = \frac{a-b}{9+24b+16b^2} : \frac{a}{3a+4ab} = \frac{a-b}{(3+4b)^2} \cdot \frac{a(3a+4b)}{a} = \frac{a-b}{3a+4b}$
