Тождественные преобразования выражений
п.1. Соответственные значения
Рассмотрим два выражения с переменными:
$$ f(x)=x^2 - 4x + 20, g(x)=3x^2 - 10 $$
Вычислим их значения при x=2:
$$ f(2)=2^2 - 4 \cdot 2 + 20 = 16, g(2)=3 \cdot 2^2 - 10 = 2 $$
$$f(2) \neq g(2)$$
Числа 16 и 2 называются соответственными значениями выражений f(x)и g(x) при одинаковом значении x=2. В данном случае соответственные значения не равны. Теперь подставим x=3:
$f(3)=3^2 - 4 \cdot 3 + 20 = 17, g(3) = 3 \cdot 3^2 - 10 = 17$
$$f(3) = g(3)$$
Соответственные значения равны.
Соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные – это числовые значения этих выражений, полученные при подстановке одинаковых значений переменных.
Соответственные значения могут быть:
- равны для отдельных значений переменных;
- равны при всех допустимых значениях переменных;
- неравны для любого из допустимых значений переменных.
п.2. Область допустимых значений
Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений переменных, сокращённо ОДЗ).
Ограничения на ОДЗ определяются видом выражения:
- Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.
- Дробное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Например, выражение $ \frac {1}{a-4}$ не имеет смысла при a=4.
- Иррациональное выражение не имеет смысла, если выражение под корнем чётной степени или под знаком возведения в дробную степень отрицательно. Например, выражение $ \sqrt {a-1}$ не имеет смысла при всех a < 1, а выражение $a^{\frac 23}-b^{\frac 13}$ не имеет смысла при всех a < 0 и b < 0.
п.3. Тождество и тождественное преобразование выражений
Тождественно равные выражения – это выражения, соответственные значения которых равны при всех допустимых значениях переменных.
Тождество – формула, в которой два тождественных выражения соединены знаком равенства.
Согласно определению, тождество – это равенство, которое является истинным при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.
Примеры тождеств: $a + b = b + a, \frac {2a+2}{2} = a+1, x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Тождествами также принято считать истинные числовые равенства.
Примеры числовых тождеств: $3^2 + 4^2 = 5^2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$
Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является истинным при всех допустимых значениях переменных, а уравнения – только для одного или нескольких значений переменных из ОДЗ.
Например: $x + 1 = \frac {2x+2}{2}$ - это тождество, которое истинно для всех действительных $x \mathbb \in R$. Выражение $x^2 + 1 = 2$ - это уравнение, которое истинно только для $x = \pm 1$.
Тождественное преобразование выражений – это замена одного выражения другим, тождественно ему равным.
Например, сокращение дроби $ \frac {ac}{bc} = \frac ab $ является тождественным преобразованием.
Для доказательства (или опровержения) тождеств используют следующие алгоритмы.
Алгоритм доказательства, что равенство является тождеством
1. Выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.
2. Сравнить полученные слева и справа алгебраические выражения. Если они одинаковы, то равенство является тождеством.
Если выражения неодинаковы, продолжить тождественные преобразования или перейти к доказательству того, что равенство не является тождеством.
Алгоритм доказательства, что равенство не является тождеством
Найти хотя бы одно значение переменной, при котором соответственные значения выражений слева и справа неравны.
п.4. Примеры
Пример 1. Докажите тождество 3(x+1)-2(x-1)-x=5(x+1)-5x
Доказательство:
● Тождественные преобразования левой части:
3(x+1)-2(x-1)-x=3x+3-2x+2-x=(3x-2x-x)+(3+2)=5
Тождественные преобразования правой части:
5(x+1)-5x=5x+5-5x=(5x-5x)+5=5
Получаем: 5=5. Равенство является тождеством.
Что и требовалось доказать. ○
Пример 2. Тождественны ли выражения 1-(1-(1-b)) и 1-b?
Решение:
Тождественные преобразования левой части:
1-(1-(1-b))=1-1+(1-b)=1-b
Получаем: 1-b=1-b. Выражения тождественны.
Ответ: да
Пример 3. Верно ли тождество |x|+1=|x+1|?
Решение:
Найдем соответственные значения левой и правой части при x=-1.
|-1|+1=1+1=2,|-1+1|=0
2 ≠ 0
Равенство не является тождеством.
Ответ: нет
Пример 4. Является ли тождеством равенство |a+b|=|a|+|b|?
Решение:
Найдем соответственные значения левой и правой части при a=-1, b=1.
|-1+1|=0, |-1|+|1|=2
0 ≠ 2
Равенство не является тождеством.
Ответ: нет
