Свойства степени с натуральным показателем
Свойства степени с натуральным показателем
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.
$a^m:a^n = a^{m-n},m \gt n,a ≠ 0$
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.
$(a^m )^n = a^{mn}$
При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
$(ab)^n = a^n b^n$
При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый сомножитель.
$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, b ≠ 0 $
При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель.
$ a^0 = 1, a ≠ 0 $
Любое ненулевое действительное число в нулевой степени равно 1. Выражение $0^0$ не имеет смысла.
Примеры
Пример 1. Запишите в виде степени с основанием 2
а) $ 2\cdot4\cdot16 = 2^1\cdot2^2\cdot2^4 = 2^{1+2+4} = 2^7 $
б) $4\cdot 32^2 = 2^2 \cdot (2^5)^2 = 2^2\cdot2^{5\cdot2} = 2^{2+10} = 2^{12}$
в) $4\cdot8:32 = 2^2 \cdot 2^3:2^5 = 2^{2+3-5} = 2^0$
г) $ \frac{2^{10}}{(2^3)^2} = \frac{2^{10}}{2^{3 \cdot 2}} = 2^{10-6} = 2^4 $
Пример 2. Запишите в виде степени:
а) $ \left(-\frac{3}{7}\right)^5 : \left(-\frac{3}{7}\right)^3 = \left(-\frac{3}{7}\right)^{5-3} = \left(-\frac{3}{7}\right)^2 $
б) $ y^{22}: (y^2)^5 = y^{22}: y^{2\cdot5} = y^{22-10} = y^{12} $
в) $ (a+2b)^14:(a+2b)^8 = (a+2b)^{14-8} = (a+2b)^6 $
г) $ (3a+5)^2\cdot(3a+5)^7:(3a+5)^4 = (3a+5)^{2+7-4} = (3a+5)^5 $
Пример 3. Найдите значение выражения:
а) $ \frac{7\cdot3^3}{3^2} = 7\cdot3^{3-2} = 7\cdot3 = 21 $
б) $ \frac{2^4\cdot3^3}{4\cdot9} = \frac{2^4}{2^2} \cdot \frac{3^3}{3^2} = 2^{4-2}\cdot3^{3-2} = 2^2\cdot3^1 = 4\cdot3 = 12$
в) $ \frac{5^6\cdot5}{25\cdot125} = \frac{5^{6+1}}{5^2\cdot5^3} = \frac{5^7}{5^5} = 5^{7-5} = 5^2 = 25 $
г) $ \frac{11^3\cdot4^7}{11^2\cdot16\cdot64} = \frac{11^3}{11^2} \cdot \frac{4^7}{4^2\cdot4^3} = 11^{3-2} \cdot 4^{7-5} = 11^1\cdot4^2 = 11\cdot16 = 176 $
д) $ \left(\frac{3^5}{10^2}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{(3^5 )^2}{((5\cdot2)^2)^2}^2 \cdot \frac{2^5}{3^5} \cdot \frac{5^4}{3^4} = \frac{3^{10}}{5^4 \cdot 2^4} \cdot \frac{2^5 \cdot 5^4}{3^{5+4}} = \frac{3^{10}}{3^9} \cdot \frac{2^5}{2^4} \cdot \frac{5^4}{5^4} = \frac{3^{10}}{3^9} \cdot \frac{2^5}{2^4} \cdot \frac{5^4}{5^4} = 3^1 \cdot 2^1 \cdot 5^0 = 6 $
е) $ \left(\frac{5}{3}\right)^5 \cdot \left(1\frac{4}{5}\right)^2 \cdot (1,5)^2 = \frac{5^5}{3^5} \cdot \left(\frac{9}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{5^5}{3^5} \cdot \frac{(3^2 )^2}{5^2} \cdot \frac{3^2}{2^2} = \frac{5^5}{5^2} \cdot \frac{3^{4+2}}{3^5} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{5^3\cdot3}{2^2} = \frac{725}{4} = 181 \frac{1}{4} $
ж) $ \frac{3^3\cdot7{22}-3^2\cdot7^{21}}{49^{10}} = \frac{7{21}\cdot3^2(3\cdot7-1)}{(7^2)^{10}} = 7^{21-20}\cdot3^2\cdot20 = 7\cdot9\cdot20 = 1260 $
з) $ \frac{(7^3\cdot5^2-7^2\cdot5^3 )\cdot77}{(11\cdot49)^2} = \frac{7^2\cdot5^2 (7-5)\cdot11\cdot7}{11^2\cdot(7^2)^2} = \frac{5^2\cdot2}{11\cdot7} = \frac{50}{77} $
Пример 4. Возведите в степень выражение:
а) $ (a^2 b^3)^4 = (a^2)^4\cdot(b^3)^4 = a^{2\cdot4} \cdot b^{3\cdot4} = a^8 b^12 $
б) $ (-2x^5 y)^4 = (-2)^4 \cdot (x^5)^4 \cdot y^4 = 16x^{20}y^4 $
в) $ \left(\frac{10x^2}{y^3}\right)^5 = \left(\frac{10^5\cdot(x^2)^5}{(y^3 )^5}\right)^5 = \frac{100000x^{10}}{y^15} $
г) $ \left(-\frac{3y^8}{m^4 n}\right)^3 = -\frac{3^3\cdot(y^8 )^3}{(m^4 )^3\cdot n^3} = -\frac{27y^{24}}{m^{12} n^3} $
Пример 5. Представьте в виде степени и вычислите:
а) $ \frac{3^{10}\cdot6^{10}}{2^{10}\cdot9^{10}} = \frac{(3\cdot6)^{10}}{(2\cdot9)^{10}} = \frac{18^{10}}{18^{10}} = 1 $
б) $ 3^{n+2}:3^{n-1} = 3^{(n+2)-(n-1)} = 3^3 = 27 $
в) $ \frac{4^{20}}{8^{13}} = \frac{(2^2)^{20}}{(2^3)^{13}} = \frac{2^{40}}{2^{39}} = 2^{40-39} = 2 $
г) $ 0,125^{10}\cdot8^{10} = (0,125\cdot8)^{10} = 1^{10} = 1 $
Пример 6. Сравните значения выражений:
а) $ 2,5^3 и 2,5^0 $
$ \left. \begin{array}{l} 2,5^3 = \left(\frac{5}{2}\right)^3 = \frac{125}{8} \gt 1 \\ 2,5^0 = 1 \end{array} \right\} \Rightarrow 2,5^3 \gt 2,5^0 $
б) $ 0,7^3 и 0,7^0 $
$ \left. \begin{array}{l} 0,7^3 = \left(\frac{7}{10}\right)^3 = \frac{343}{1000} \lt 1 \\ 0,7^0 = 1 \end{array} \right\} \Rightarrow 0,7^3 \gt 0,7^0 $
в) $ (-0,8)^5 и 0,8^0 $
$ \left. \begin{array}{l} (-0,8)^5 \lt 0 \\ 0,8^0 = 1 \gt 0 \end{array} \right\} \Rightarrow (-0,8)^5 \lt 0,8^0 $
Пример 7*. Какое из чисел больше?
а) $ 10^{20}$ или $ 20^{10} $
$ 10^{20} = (10^2)^{10} = 100^{10} $
$ 100 \gt 20 \Rightarrow 100^{10} \gt 20^{10} \Rightarrow 10^{20} \gt 20^{10} $
б) $ 6^{20}$ или $2^{60} $
$2^{60} = (2^3)^{20} = 8^{20}$
$ 6 \lt 8 \Rightarrow 6^{20}\lt 8^{20} \Rightarrow 6^{20} \lt 2^{60} $
в) $ 2^{300}$ или $3^{200} $
$ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} $
$ 3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100} $
$ 8\lt 9 \Rightarrow 8^{100} \lt 9^{100} \Rightarrow 2^{300} \lt 3^{200} $
