Степень с натуральным показателем
Определение степени с натуральным показателем
При решении математических задач часто возникает необходимость перемножать несколько одинаковых чисел. Например, если сторона квадрата равна 5 см, то его площадь $5 \cdot 5 = 25 см^2$; произведение $5 \cdot 5 = 5^2$ читается «пять в квадрате». А если сторона куба равна 5 см, его объём $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 см^3$; произведение $5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$ читается «пять в кубе».
При решении статистических или комбинаторных задач (см. п.9. Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной) количество одинаковых сомножителей может стать очень большим. Для их произведения вводится аналогичная запись:
$$\underbrace{7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7}_{5\text{раз}} = 7^5, \underbrace{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}}_{11\text{раз}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{11}$$
Степенью числа a с натуральным показателем n большим 1 называют произведение n множителей, каждый из которых равен a: $$ a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \cdots \cdot a}_{n\text{раз}} $$ Степенью числа a с показателем 1 называют само число a: $$ a^1 = a $$ В выражение $a^n$ число a называют основанием степени , число n – показателем степени . Вычисление значения степени $a^n$ называют возведением в n-ю степень .
Знак степени с натуральным показателем
$0^n = 0$
При возведении нуля в любую степень получается нуль
$a \gt 0 \Rightarrow a^n \gt 0$
При возведении положительного числа в любую степень получается положительное число
$ a \lt 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} a^n \lt 0, n-нечётная \\ a^n \gt 0, n-чётная \end{array} \right.$
При возведении отрицательного числа в нечётную степень получается отрицательное число; в чётную степень – положительное число.
Важное практическое следствие: $a^2 \ge 0$ , $∀a \in \Bbb R$ - квадрат любого действительного числа – число неотрицательное.
Порядок действий в выражениях без скобок со степенью
Приоритет операций
- Выполнить возведение в степень
- Выполнить умножение и деление
- Выполнить сложение и вычитание
Например: $2^3:12+15\cdot3^2-24$
Шаг 1. Возводим в степень, получаем 8:12+15$\cdot$9-24
Шаг 2. Множим и делим, получаем: $\frac{2}{3}$+135-24
Шаг 3. Прибавляем и отнимаем, получаем: 111 $\frac{2}{3}$
Примеры
Пример 1. Выполните возведение в степень:
а) $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 $
б) $ \left(-\frac{1}{6}\right)^{3} = \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = \left(-\frac{1}{216}\right) $
в) $ (-0,1)^4 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,0001 $
г) $ (1 \frac{1}{3})^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{27} = 2 \frac{10}{27} $
Пример 2. Представьте в виде куба число:
а) $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 $
б)$ 0,008 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,2^3$
в) $ 4 \frac{17}{27} = \frac{125}{27} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \left(\frac{5}{3}\right)^3 = \left( 1\frac{2}{3}\right)^3$
г)$ -729 = (-9)\cdot(-9)\cdot(-9) = (-9)^3$
Пример 3. Сравните:
а) $ (-4)^3 и 0$
$ \left. \begin{array}{l} -4 \lt 0 \\ 3-нечётная \quad степень \end{array} \right\} \Rightarrow (-4)^3 \lt 0 $
б) $(-6,1)^3 и (-6,1)^2$
$ \left. \begin{array}{l} (-6,1)^3 \lt 0 \\ (-6,1)^2 \gt 0 \end{array} \right\} \Rightarrow (-6,1)^3 \lt 0 \lt (-6,1)^2 \Rightarrow (-6,1)^3 \lt (-6,1)^2 $
в) $ \left(\frac{2}{3}\right)^3 и \left(\frac{2}{3}\right)^4 $
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}, \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81} $
$ \frac{8}{27} = \frac{24}{81} \gt \frac{16}{81} \Rightarrow \frac{8}{27} \gt \frac{16}{81} \Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^3 \gt \left(\frac{2}{3}\right)^4$
г) $-\left(\frac{5}{7}\right)^{10} и \left(-\frac{5}{7}\right)^{10} $
$ \left. \begin{array}{l} -\left(\frac{5}{7}\right)^{10} \lt 0 \\ \left(-\frac{5}{7}\right)^{10} \gt 0 \end{array} \right\} \Rightarrow -\left(\frac{5}{7}\right)^{10} \lt \left(-\frac{5}{7}\right)^{10} $
Пример 4. Найдите значение выражения:
а) $-4^3+(-3)^3 = -(4\cdot4\cdot4)+(-3)\cdot(-3)\cdot(-3) = -64+(-27) = -91$
б) $ 5-4\cdot2^3 = 5-4\cdot8 = 5-32 = -27 $
в) $ 0,3\cdot2^5-0,4\cdot(-0,1)^3 = 0,3\cdot32-0,4\cdot(-0,001) = 9,6+0,0004 = 9,6004 $
г) $ 3^3-81\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3 = 27-81 \cdot \frac{8}{27} = 27-3\cdot8 = 27-24 = 3 $
Пример 5. Расположите выражения по возрастанию их значений:
$$ \frac{5^2+3^2}{2}, \left(\frac{5+3}{2}\right)^2, \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 $$
$ \frac{5^2+3^2}{2} = \frac{25+9}{2} = \frac{34}{2} =17 $
$ \left(\frac{5+3}{2}\right)^2 = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 4^2 = 16 $
$ \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}+\frac{9}{4} = \frac{34}{4} = 8,5 $
$$ \left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 \lt \left(\frac{5+3}{2}\right)^2 \lt \frac{5^2+3^2}{2} $$
