Сложение и вычитание многочленов
Алгоритмы сложения и вычитания многочленов
Чтобы сложить два многочлена , достаточно между ними поставить знак «+». Аналогично складывают три и больше многочленов.
Чтобы найти разность двух многочленов , нужно второй многочлен заключить в круглые скобки, поставить перед ним знак «-» и раскрыть скобки.
Аналогично вычитают три и больше многочлена.
Сумма и разность произвольных многочленов – также многочлены.
О правилах раскрытия скобок – см. §4 данного справочника.
Внимание!
Не забудьте поменять знаки при вычитании многочленов!
Неправильно: (a+b)-(c+d) ≠ a+b-c+d
Правильно: (a+b)-(c+d) = a+b-c-d
Чтобы не делать ошибок, используйте скобки при вычитании и раскрывайте скобки по правилам.
Примеры
Пример 1. Найдите сумму и разность многочленов:
а) $ 9x^3-7x^2+8 и 5x^2+x-2$
Сумма:
$ 9x^3-7x^2+8+5x^2+x-2 = 9x^3+(-7+5) x^2+x+(8-2)=9x^3-2x^2+x+6 $
Разность:
$ 9x^3-7x^2+8-(5x^2+x-2) = 9x^3-7x^2+8-5x^2-x+2 = $
$ = 9x^3+(-7-5) x^2-x+(8+2) = 9x^3-12x^2-x+10 $
б) $-\frac{3}{5} xy+xy^2-\frac{1}{6} и 1 \frac{2}{3} xy-xy^2+1 $
Сумма:
$-\frac{3}{5} xy+xy^2-\frac{1}{6}+ 1 \frac{2}{3} xy-xy^2+1 = (-\frac{3}{5}+1 \frac{2}{3})xy+0 \cdot xy^2+(- \frac{1}{6}+1)=$
$ =(1+\frac{10-9}{15})xy+\frac{5}{6} = 1 \frac{1}{15} xy+ \frac{5}{6} $
Разность:
$ -\frac{3}{5} xy+xy^2-\frac{1}{6}- (1 \frac{2}{3} xy-xy^2+1) = -\frac{3}{5} xy+xy^2-\frac{1}{6}- 1\frac{2}{3} xy+xy^2-1 = $
$ = (-\frac{3}{5}-1 \frac{2}{3})xy+(1+1)xy^2+(-\frac{1}{6} -1) = (-1-\frac{9+10}{15})xy+2xy^2-1 \frac{1}{6} = $
$ =-2 \frac{4}{15} xy+2xy^2-1 \frac{1}{6} $
Пример 2. Вычислите значение выражения, если x = -5
а) $ 16x^4-x^3-(15x^4-x^3+1) = 16x^4-x^3-15x^4+x^3-1 = x^4-1 $
Подставляем: $ (-5)^4-1 = 625-1 = 624 $
б) $ 3x^3-2x^2+x-8-(x^3-2x^2+x) = 3x^3-2x^2+x-8-x^3+2x^2-x = 2x^3-8 $
Подставляем: $ 2 \cdot (-5)^3-8 = 2 \cdot (-125)-8 = -258 $
Пример 3. При каком значении x значение трёхчлена $ 2x^2+5x-3$ больше значения двучлена $2x^2+1$ на 4?
По условию: $ (2x^2+5x-3 )-(2x^2+1) = 4 $
$ 2x^2+5x-3-2x^2-1 = 4 $
5x-4 = 4
5x = 8
$ x = \frac{8}{5} = 1,6 $
Ответ: 1,6
Пример 4. Какой многочлен нужно сложить с многочленом $ 2x^2+x-16 $, чтобы получить $x^3-x^2+2$?
Обозначим неизвестный многочлен P(x). По условию:
$ 2x^2+x-16+P(x) = x^3-x^2+2 $
$ P(x) = x^3-x^2+2-(2x^2+x-16) = x^3-x^2+2-2x^2-x+16 = x^3-3x^2-x+18 $
Ответ: $ x^3-3x^2-x+18 $
