Сложение и вычитание алгебраических дробей

Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей

Например:

$$ \frac{1}{a+3} + \frac{2-a}{a^2-9} = \frac{1^{/(a-3)}}{a+3} + \frac{2-a^{/1}}{a^2-9} = \frac{a-3+2-a}{a^2-9} = -\frac{1}{a^2-9}$$

Примеры

Пример 1. Выполните действия:

а) $ \frac{5}{a}+ \frac{a-35}{7a} = \frac{5^{/7}}{a}+ \frac{a-35^{/1}}{7a} = \frac{35+a-35}{7a} = \frac{a}{7a} = \frac{1}{7} $

б) $ 1- \frac{2}{x}+ \frac{1}{x^2} = 1^{/x2} - \frac{2^{/x}}{x} + \frac{1^{/1}}{x^2} = \frac{x^2-2x+1}{x^2} $

в) $ \frac{k+1}{k-3} - \frac{3}{9-k^2} = \frac{k+1^{/k+3}}{k-3} + \frac{3^{/1}}{k^2-9} = \frac{(k+3)(k+1)+3}{k^2-9} = \frac{k^2+k+3k+3+3}{k^2-9} = \frac{k^2+4k+6}{k^2-9}$

г) $ \frac{3y}{y-2} - \frac{y+1}{y^2-4y+4} = \frac{3y^{/(y-2)}}{y-2} - \frac{y+1^{/1}}{(y-2)^2} = \frac{3y(y-2)-(y+1)}{(y-2)^2} = \frac{3y^2-6y-y+1}{(y-2)^2} = \frac{3y^2-7y+1}{(y-2)^2} $

д) $ x+ \frac{x}{x-1} = \frac{x(x-1)+x}{x-1} = \frac{x^2-x+x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} $

е) $ y+1- \frac{y^2}{y-2} = \frac{(y+1)(y-2)-y^2}{y-2} = \frac{y^2-2y+y-2-y^2}{y-2} = \frac{-y-2}{y-2} = -\frac{y+2}{y-2} $

ж) $ \frac{4b}{4b^2-1}-\frac{b+1}{2b^2+b} = \frac{4b^{/b}}{(2b-1)(2b+1)} - \frac{b+1^{/2b-1}}{b(2b+1)} = \frac{4b^2-(2b-1)(b+1))}{b(2b-1)(2b+1)} = \frac{4b^2-(2b^2+b-1)}{b(2b-1)(2b+1)} = \frac{2b^2-b+1}{b(4b^2-1)} $

з) $ \frac{x+1}{x^3-1}- \frac{1}{x^2+x+1} = \frac{x+1^{/1}}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{1^{/x-1}}{x^2+x+1} = \frac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{2}{x^3-1}$

Пример 2. Решите уравнения:

а) $ \frac{4x-1}{2} - \frac{5x+3}{3} + \frac{x}{6} = 3 | \times 6$

б) $ \frac{3x-1}{4}+ \frac{2x+5}{12}-x = 2 | \times 12 $

Пример 3. Найдите значение выражения, если a = 3

а) $ \frac{2(a+2)}{a^2+2a+4}- \frac{a}{a-2} +1 = \frac{2(a+2)^{(a-2)}}{a^2+2a+4} - \frac{a^{/(a^2+2a+4)}}{a-2} + 1^{(a^3-8)} = \frac{2(a^2-4)-a(a^2+2a+4)+(a^3-8)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = $

$ = \frac{2a^2-8-a^3-2a^2-4a+a^3-8}{(a^3-8)} = \frac{-4a-16}{a^3-8} = -\frac{4(a+4)}{a^3-8} $

Подставляем: $- \frac{4\cdot7}{3^3-8} = -\frac{28}{19} = -1 \frac{9}{19}$

б) $ \frac{2a^2+7}{a^4-16} + \frac{a}{a^2-4}- \frac{1}{a-2} = \frac{2a^2+7^{/1}}{(a-2)(a+2)(a^2+4)} + \frac{a^{/(a^2+4)}}{(a-2)(a+2)} - \frac{1^{/(a+2)(a^2+4)}}{a-2} = $

$ = \frac{2a^2+7+a(a^2+4)-(a+2)(a^2+4)}{(a-2)(a+2)(a^2+4)} = \frac{2a^2+7+a^3+4a-a^3-4a-2a^2-8}{a^4-16} =- \frac{1}{a^4-16} $

Подставляем: $- \frac{1}{3^4-16} = -\frac{1}{65}$

Пример 4*. Упростите выражение, если $ n \in \Bbb N $- натуральное число:

а) $ \frac{1}{x^{2n}-y^{2n}} + \frac{1}{x^n+y^n} - \frac{1}{x^n-y^n}= \frac{1^{/1}}{(x^n+y^n )(x^n-y^n )}+ \frac{1^{/(x^n-y^n)}}{x^n+y^n} - \frac{1^{/(x^n+y^n)}}{x^n-y^n}=$

$ = \frac{1+(x^n-y^n )- (x^n+y^n )}{(x^n+y^n )(x^n-y^n )} = \frac{1-2y^n}{x^{2n}-y^{2n}} $

б) $ \frac{x^n+y^n}{x^{2n}+2x^n y^n+y^{2n}} + \frac{1}{x^n+y^n} - \frac{1}{x^n} = \frac{x^n+y^n}{(x^n+y^n )^2} + \frac{1}{x^n+y^n}- \frac{1}{x^n} = \frac{1}{x^n+y^n}+ \frac{1}{x^n+y^n} - \frac{1}{x^n} = $

$= \frac{2^{/x^n}}{x^n+y^n} - \frac{1^{/(x^n+y^n)}}{x^n} = \frac{(2x^n-(x^n+y^n )}{x^n (x^n+y^n} = \frac{x^n+y^n}{x^n (x^n+y^n )} $