Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Система двух линейных уравнений и её решение

Система двух линейных уравнений имеет вид:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y = c_1\\ a_2 x+b_2 y = c_2 \end{array} \right.} $$

Общее решение системы двух линейных уравнений – это упорядоченная пара $(x_*,y_* )$, которая при подстановке в каждое из двух уравнений превращает его в тождество.

Например: Система уравнений $ {\left\{ \begin{array}{c} x+y = 3\\ 2x-3y = 1 \end{array} \right.} $ имеет общее решение (2;1), т.е.

$2+1 ≡ 3,2 \cdot 2-3 \cdot 1 ≡ 1$ - оба уравнения превращаются в тождества.

Примеры

Пример 1. Какие из пар чисел (1;-1),(2;3),(-3;2) являются решениями системы уравнений:

а) $ {\left\{ \begin{array}{c} x-y = 2\\ 2x+3y = -1 \end{array} \right.} $

$ (1;-1): {\left\{ \begin{array}{c}1-(-1) ≡ 2\\ 2\cdot1+3\cdot(-1) ≡ -1\end{array} \right.} \Rightarrow решение (1;-1)$

б) $ {\left\{ \begin{array}{c} x-y = 5\\ 2x+3y = 0 \end{array} \right.} $

$ (1;-1): {\left\{ \begin{array}{c}1-(-1) \neq -5\\ 2\cdot1+3\cdot(-1) \neq 0\end{array} \right.} $

$ (2;3): {\left\{ \begin{array}{c}2-3 \neq -5\\ 2\cdot2+3\cdot3 \neq 0\end{array} \right.} $

$ (-3;2): {\left\{ \begin{array}{c}-3-2 ≡ -5\\ 2\cdot(-3)+3\cdot2≡0\end{array} \right.} \Rightarrow решение (-3;2)$

Пример 2.Составьте систему линейных уравнений, решением которой является пара чисел

а) $(7;1) : {\left\{ \begin{array}{c} 2x+y = 15\\x-5y = 2\end{array} \right.} $

б) $(-4;6) : {\left\{ \begin{array}{c} 2x+y = -2\\x-5y = -34\end{array} \right.} $

Пример 3.Найдите точку пересечения графиков x+y=5 и 2x-3y=5.

Покажите, что координаты это точки являются решением соответствующей системы уравнений.

x+y = 5 и 2x-3y = 5

x

0

5

y

5

0

x

0

2,5

y

-1 $\frac{2}{3}$

0

Точка пересечения (4;1)

$ {\left\{ \begin{array}{c}x+y = 5 \\ 2x-3y = 5 \end{array} \right.} $

$ (4;1): {\left\{ \begin{array}{c}4+1 ≡ 5\\ 2\cdot4-3\cdot1 ≡ 5\end{array} \right.}$

Координаты точки пересечения являются решением системы уравнений.