Решение задач с помощью систем линейных уравнений
Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений
- Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
- По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
- Решить полученную систему уравнений.
- Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).
Например:
Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.
Шаг 1
«От смысла к буквам»:
Пусть x и y - задуманные числа.
Шаг 2
Уравнения по условию задачи::
${\left\{ \begin{array}{c} x-y = 10 \\ x+2y = 91 \end{array} \right.}$
Шаг 3
Решение системы уравнений:
$(-) {\left\{ \begin{array}{c} x-y = 10 \\ x+2y = 91 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -3y = -81 \\ x = y+10 \end{array} \right.} \Rightarrow$
$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 37 \\ y = 27 \end{array} \right.} $
Шаг 4
«От букв к смыслу»:
Задуманы числа 37 и 27.
Примеры
Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.
Найдите стороны прямоугольника.
Пусть a и b - длина и ширина прямоугольника.
По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a+b = 24 \\ a = 3b \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3b+b = 24 \\ a = 3b \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 4b = 24 \\ a = 3b \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a = 18 \\ b = 6 \end{array} \right.} $$
Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.
Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?
Пусть x - ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.
По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end{array} \right.} (-) \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end{array} \right.}$$
$$ \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 17x = 11900 \\ y = x-185 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 700 \\ y = 515 \end{array} \right.} $$
Ответ: 700 строк и 515 строк
Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?
Пусть x - цена за 1 кг конфет, y - за 1 кг печенья.
По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x = 350 \\ y = 280 \end{array} \right.} $$
Ответ: 1 кг конфет - 350 руб. и 1 кг печенья - 280 руб.
Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.
Пусть v - скорость катера (км/ч), u - скорость течения (км/ч).
По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3(v-u)+2(v+u) = 73 \\ 4(v+u)-3(v-u) = 29 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 3v-3u+2v+2u = 73 \\ 4v+4u-3v+3u = 29 \end{array} \right.}$$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end{array} \right.} \Rightarrow$$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -36u = -72 \\ v = 29-7u \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} v = 15 \\ u = 2 \end{array} \right.} $$
Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч
Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.
Пусть x – первоначальная цена карандаша, y - тетрадки.
По условию:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} 5x+3y = 170 |\times \frac{2,4}{5} \\ 2,4x+6,5y = 284 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end{array} \right.} $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} (6,5-1,44)y = 284-81,6 \\ x = \frac{170-3y}{5} \end{array} \right.}\Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} y = 202,4:5,06 = 40 \\ x = \frac{170-120}{5} = 10 \end{array} \right.} $$
Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка - 40 руб.
Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.
Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t - обычное время (ч).
Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:
$$ s_{AB} = vt = (v+3)(t-1) = (v-2)(t+1) $$
Получаем систему:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} vt = (v+3)(t-1) \\ vt = (v-2)(t+1) \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} vt = vt-v+3t-3 \\ vt = vt+v-2t-2 \end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} v-3t = -3 \\ -v+2t = -2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} -t = -5 \\ v = 2t+2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} t = 5 \\ v = 12 \end{array} \right.} $$
Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч
Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.
Пусть x - объём первой бочки (л), y – объём второй (л).
Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:
$$ (+) {\left\{ \begin{array}{c} 12+a = x \\ 32-a = \frac{1}{2} y \end{array} \right.} \Rightarrow x+ \frac{1}{2} y = 44 $$
Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:
$$ (+) {\left\{ \begin{array}{c} 32+b = y \\ 12-b = \frac{1}{6} x \end{array} \right.} \Rightarrow \frac{1}{6}x+y = 44 $$
Получаем систему:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x+ \frac{1}{2} y = 44 | \times 2 \\ \frac{1}{6} x+y = 44 \end{array} \right.} \Rightarrow (-) {\left\{ \begin{array}{c} 2x+y = 88 \\ \frac{1}{6} x+y = 44 \end{array} \right.} \Rightarrow (+) {\left\{ \begin{array}{c} 1\frac{5}{6} x = 44 \\ y = 88-2x \end{array} \right.} \Rightarrow $$
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = 44: \frac{11}{6} = 44\cdot \frac{6}{11} = 24 \\ y = 88-2\cdot24 = 40 \end{array} \right.} $$
Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л
Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?
Пусть s - расстояние между домом и школой, v - скорость автобуса, u - скорость школьника, t - искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.
По условию задачи:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 1,5 = \frac{s}{v} + \frac{s}{u} \\ 0,5 = \frac{2s}{v} \\ t = \frac{2s}{u} \end{array} \right.} $$
Из второго уравнения $ \frac{s}{v} = \frac{0,5}{2} = 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:
$$ \frac{s}{u} = 1,5-\frac{s}{v} = 1,5-0,25 = 1,25 $$
И тогда искомое время:
$$ t = \frac{2s}{v} = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$
Ответ: 2,5 ч
