Решение задач с помощью линейных уравнений с одной переменной

Алгоритм решения текстовой задачи с помощью уравнения

Задачи с решениями

Задача 1. Одна сторона треугольника в два раза больше другой и на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 43 см.

Решение:

Пусть сторона AB=x.

Заполним таблицу:

Периметр треугольника: P = AB+AC+BC = x+2x+(2x+3) = 43

$$5x+3 = 43 \iff 5x = 40 \iff x = 40:5 = 8$$

Длины сторон:

AB = x = 8 см, AC = 2x = 16 см, BC = 2x+3 = 19 см

Ответ: 8 см, 16 см и 19 см

Задача 2. Расстояние между двумя станциями поезд может пройти со скоростью 70 км/ч на полчаса быстрее, чем со скоростью 60 км/ч. Найдите это расстояние.

Решение:

Пусть x – расстояние между станциями.

Заполним таблицу:

По условию разность затраченного времени:

$$ \frac{x}{60} - \frac{x}{70} = \frac{1}{2} $$

Решаем: $ \frac{x}{60} - \frac{x}{70} = \frac{1}{2} | \times 420 \iff 7x-6x = 210 \iff x = 210 $

Расстояние между станциями 210 км

Ответ: 210 км

Задача 3. Бригада должна была изготовить детали за 5 дней, но выполнила работу за 4 дня, т.к. изготавливала каждый день на 12 деталей больше. Сколько деталей изготовила бригада?

Решение:

Пусть x - количество изготовленных деталей.

Заполним таблицу:

По условию разность между количествами деталей в день:

$$ \frac{x}{4} - \frac{x}{5} = 12 $$

Решаем: $ \frac{x}{4} - \frac{x}{5} = 12 | \times 20 \iff 5x-4x = 240 \iff x = 240 $

Бригада изготовила 240 деталей.

Ответ: 240 деталей

Задача 4. Сумма двух чисел равна 90. Если большее из них разделить на меньшее, то частное равно 3 и в остатке 6. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть x - меньшее число. Тогда большее равно 90-x. По условию: 90-x = 3x+6

Решаем:

$$ 90-6 = 3x+x \iff 4x = 84 \iff x = 21 $$

Меньшее число x = 21, большее число 90-x = 69.

Ответ: 21 и 69

Задача 5. Матери 37 лет, а дочери 13 лет. Когда дочь была или будет втрое младше матери? А вдвое?

Решение:

Пусть x - число прошедших лет. Возраст матери станет 37+x, дочери 13+x.

Соотношение возрастов:

$$ \frac{37+x}{13+x} = 3 \iff 37+x = 3(13+x) \iff 37+x = 39+3x \iff 37-39 = 3x-x \iff $$

$$ \iff 2x = -2 \iff x = -1 $$

Дочь была втрое младше матери 1 год тому назад.

Второе соотношение:

$$ \frac{37+x}{13+x} = 2 \iff 37+x = 2(13+x) \iff 37+x = 26+2x \iff 37-26 = 2x-x \iff $$

$$ \iff x = 11 $$

Дочь будет вдвое младше матери через 11 лет.

Ответ: год назад; через 11 лет

Задача 6. Сколько лет отцу и сыну, еcли в позапрошлом году сын был младше в 5 раз, а в следующем будет младше в 4 раза?

Решение:

Пусть x - возраст сына в этом году.

Заполним таблицу:

И для отца, и для сына пройдёт три года:

(x+1)-(x-2) = 3 = 4(x+1)-5(x-2)

Решаем:

$$ 4(x+1)-5(x-2) = 3 \iff 4x+4-5x+10 = 3 \iff 4x-5x = 3-14 \iff -x = -11 $$ $$ x = 11 $$

Сейчас сыну 11 лет.

В следующем году отцу будет 4(x+1)=4∙12=48 лет. Значит, сейчас отцу 47 лет.

Ответ: 11 лет и 47 лет.

Задача 7. Сумма цифр данного двузначного числа равна 7. Если эти цифры поменять местами, то получится двузначное число на 9 больше данного. Найдите данное число.

Решение:

Пусть x - первая цифра данного числа, число десятков.

Заполним таблицу:

По условию разность чисел:

(10(7-x)+x)-(10x+(7-x)) = 9

Решаем:

$$ (70-10x+x)-(10x+7-x) = 9 \iff 70-9x-9x-7 = 9 \iff $$ $$ \iff -18x = 9-63 \iff -18x = -54 \iff x = 3 $$

Первая цифра x = 3, вторая цифра 7-x = 4.

Данное число 34.

Ответ: 34

Задача 8. По расписанию автобус должен ехать от посёлка до станции со скоростью 32 км/ч и приезжать на станцию за полчаса до отхода поезда. Но из-за ненастной погоды автобус ехал со скоростью на 7 км/ч меньше и опоздал к поезду на 12 мин. Чему равно расстояние от посёлка до станции?

Решение:

Пусть x – расстояние от посёлка до станции.

Заполним таблицу:

Разность по времени между расписанием и фактическим прибытием:

30 мин+12 мин = 42 мин = $\frac{42}{60}$ ч = 0,7 ч

$ \frac{x}{25}- \frac{x}{32} = 0,7 | \times 32 \cdot 25 $

$ 32x-25x = \frac{7}{10} \cdot 32 \cdot 25 = 7 \cdot 16 \cdot 5 $

$ 7x = 7 \cdot 16 \cdot 5 \iff x = 16 \cdot 5 = 80 $

Расстояние 80 км.

Ответ: 80 км

Задача 9*. Если к двузначному числу приписать справа и слева цифру 4, то получится число в 54 раза больше исходного. Найдите исходное двузначное число.

Решение:

Пусть x - исходное число.

Если приписать по 4 слева и справа, в полученном четырёхзначном числе первая 4 указывает на количество тысяч, число x - на количество десятков, последняя 4 – на количество единиц. Соотношение чисел:

$$ \frac{4000+10x+4}{x} = 54 $$

Решаем: $ 4004+10x = 54x \iff 4004=44x \iff x = \frac{4004}{44} = \frac{1001}{11} = 91 $

Исходное число x = 91.

Ответ: 91

Задача 10. Для проведения экзамена закуплены тетради. Если их сложить в пачки по 45 штук, останется одна лишняя тетрадь, а если сложить в пачки по 50 штук, то в одной пачке не будет хватать 4 тетради. Сколько тетрадей было куплено, если пачек по 45 тетрадей получается на одну больше, чем пачек по 50 тетрадей?

Решение:

Пусть n - количество пачек по 50 тетрадей.

Всего тетрадей:

$$ 45(n+1)+1 = 50n-4 \iff 45n+45+1 = 50n-4 \iff 45n-50n = -4-46 \iff $$

$$ \iff-5n = -50 \iff n = 10 $$

Получаем: 50 $\cdot$ 10-4 = 496 тетрадей.

Ответ: 496 тетрадей.

Задача 11*. Компания приобрела две партии товара за 125 тыс.руб. Первая партия была продана с прибылью 25%, вторая – с прибылью 50%. Общая прибыль составила 40%. Сколько стоила компании каждая партия товара?

Решение:

Пусть x - стоимость первой партии.

Заполним таблицу:

В сумме получаем:

1,25x+1,5(125-x) = 1,4 $\cdot$ 125 | $\times$ 4

5x+6(125-x) = 1,4 $\cdot$ 500

5x+750-6x = 700

x = 50

Стоимость первой партии x = 50 тыс.руб., второй партии 125-x = 75 тыс.руб.

Ответ: 50 тыс.руб. и 75 тыс.руб.

Задача 12*. В одном слитке 10% серебра, а во втором – 40%. Второй слиток на 3 кг тяжелее первого. Слитки сплавили и получили слиток, в котором 30% серебра. Найдите массу полученного слитка.

Решение:

Пусть x - масса первого слитка.

Заполним таблицу:

В сумме масса серебра:

0,1x+0,4(x+3) = 0,3(2x+3) |$\times$ 10

x+4(x+3) = 3(2x+3) $\iff$ x+4x+12 = 6x+9 $\iff$ x = 3

Масса первого слитка x=3 кг. Масса полученного слитка 2x+3=9 кг.

Ответ: 9 кг