Решение уравнений, сводящихся к линейным
Примеры
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
Пример 1. Решите уравнение (2x+3)(3x-2)-5x = 6x(x-1)
Решение:
$ (2x+3)(3x-2)-5x=6x(x-1) \iff 2x(3x-2)+3(3x-2)-5x = 6x^2-6x \iff $
$ \iff 6x^2-4x+6x-6-5x = 6x^2-6x \iff 6x^2-3x-6x^2+6x = 6 \iff $
$ \iff 3x = 6 \iff x = 2 $
Ответ: x = 2
Пример 2. Решите уравнение $x+ \frac{1}{3}x = 11- \frac{1}{2}x $
Решение:
$ x+ \frac{1}{3}x = 11- \frac{1}{2}x \iff x+\frac{1}{3}x+ \frac{1}{2}x = 11 \iff (1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{2})x = 11 \iff $
$ \iff \frac{11}{6}x = 11 \iff x = 11 \cdot \frac{6}{11} = 6 $
Ответ: x = 6
Пример 3. Решите уравнение из папируса Ахмеса $ x+ \frac{2}{3}x+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{7}x=37 $
(древний Египет, 1700 г. до н.э)
Решение:
$ x+ \frac{2}{3}x+ \frac{1}{2}x+\frac{1}{7}x = 37 | \times 42 \iff 42x+2 \cdot 14x+21x+6x = 37 \cdot 42 \iff $
$ \iff 97x=1554 \iff x= \frac{1554}{97} = 16 \frac{2}{97} $
Ответ: $ x = 16 \frac{2}{97}$
Пример 4. Решите уравнение $ \frac{3x-7}{3}-\frac{5x-11}{5} = 0 $
Решение:
$ \frac{3x-7}{3} - \frac{5x-11}{5} = 0 |× 15 \iff 5(3x-7)-3(5x-11)=0 \iff $
$ \iff 15x-35-15x+33 = 0 \iff 0x = 2 \iff x \in \Bbb \varnothing $
Решений нет.
Ответ: $ x \in \Bbb \varnothing$
Пример 5. Решите уравнение $ \frac{2x+16}{2}-\frac{3x-7}{3} = 10 \frac{1}{3} $
Решение:
$$ \frac{2x+16}{2}-\frac{3x-7}{3} = 10 \frac{1}{3} | \times 6 \iff 3(2x+16)-2(3x-7) = 31 \cdot 2 \iff $$
$$ \iff 6x+48-6x+14 = 62 \iff 0x = 0 \iff x \in \Bbb R - любой $$
Ответ: $ x \in \Bbb R - любой $
Пример 6. Решите уравнение |x+5| = 16
Решение:
$ |x+5| = 16 \iff \left[ \begin{array}{cc} x+5 = -16 \\ x+5 = 16 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -21 \\ x_2=11 \end{array} \right. $
Ответ: $ x_1 = -21, x_2 = 11 $
Пример 7. Решите уравнение |0,8x-4| = 0
Решение:
$ |0,8x-4| = 0 \iff 0,8x-4 = 0 \iff 0,8x = 4 \iff x = 4:0,8 = 5 $
Ответ: x = 5
Пример 8. Решите уравнение |0,5x+2| = -3
Решение:
Модуль не может быть равен отрицательному числу.
$ |0,5x+2| = -3 \iff x \in \Bbb \varnothing $ - решений нет
Ответ: $ x \in \Bbb \varnothing $ - решений нет
Пример 9*. Решите уравнение |5-|x+1||-3 = 2
Решение:
$ |5-|x+1||-3 = 2 \iff |5-|x+1|| = 5 \iff \left[ \begin{array}{cc} 5-|x+1| = -5 \\ 5-|x+1| = 5 \end{array} \right. \iff $
$ \iff \left[ \begin{array}{cc} |x+1| = 10 \\ |x+1|=0 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x+1 = -10 \\ x+1 = 10 \\ x+1 = 0 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x_1 = -11 \\ x_2=9 \\ x_3 = -1 \end{array} \right. $
Ответ: $ x_1 = -11, x_2 = 9, x_3 = -1$
Пример 10. Найдите, при каких значениях a корнем уравнения a|3x+5|-6 = 2 является x = -3.
Решение:
Подставляем значение x в уравнение:
$ a|3 \cdot (-3)+5|-6 = 2 \iff 4a-6 = 2 \iff 4a = 8 \iff a = 2 $
Ответ: a = 2
