Решение простых комбинаторных задач с помощью таблицы вариантов

Таблица вариантов для комбинаций из двух элементов

Допустим, мы бросаем два игральных кубика, и нас интересуют все комбинации, когда сумма выпавших чисел кратна 5.

Каждый из кубиков имеет 6 возможных «состояний»: 1,2,3,4,5,6.

Для того, чтобы описать все возможные комбинации двух кубиков, нужно составить таблицу вариантов:

Сумма выпавших чисел на кубиках кратна 5 в 7 случаях (ячейки таблицы закрашены). Общее количество возможных комбинаций – 36.

Правило суммы и правило произведения

Например:

Сколькими способами можно выбрать 1 ИЛИ 2 игроков из трёх кандидатов на участие в соревновании?

Одного игрока из трёх можно выбрать $C_3^1 = 3$ разными способами.

Двух игроков из трёх можно выбрать $C_3^2 = 3$ разными способами.

По правилу суммы у нас 3+3 = 6 способов для выбора.

Например:

Сколько существует различных двузначных кодовых слов, состоящих из одной буквы И одной цифры, если разрешенные символы – это 5 букв «a,b,c,d,e» и 3 цифры «1,2,3»?

По правилу произведения число всех кодовых слов – всех возможных комбинаций: $m \cdot n = 5 \cdot 3 = 15$ слов.

Примеры

Пример 1. При составлении расписания завуч хочет на первый урок поставить алгебру или физику, а на второй – историю, географию или иностранный язык. Сколько существует вариантов расписания для первых двух уроков? Изобразите их с помощью таблицы вариантов.

Для первого урока есть m = 2 варианта.

Для второго урока n = 3 варианта.

По правилу произведения общее число вариантов для двух уроков

$mn = 2 \cdot 3 = 6$ вариантов.

Ответ: 6 вариантов

Пример 2. Из коробки с 12 фломастерами разного цвета один фломастер берет Коля, а за ним – один фломастер берет Петя. Сколько существует различных вариантов такого выбора фломастеров?

Перед Колей на выбор 12 фломастеров – у него m = 12 вариантов.

Перед Петей остаётся на выбор 11 фломастеров – у него n = 11 вариантов.

По правилу произведения общее число вариантов: $ mn = 12 \cdot 11 = 132$

Ответ: 132 варианта

Пример 3. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4,5, если а) цифры могут повторяться; б) цифры не повторяются.

а) цифры могут повторяться

В разряде сотен могут быть цифры 1,2,3,4,5, всего m=5 вариантов

В разряде десятков могут быть цифры 0,1,2,3,4,5, всего n=6 вариантов

В разряде единиц могут быть цифры 0,1,2,3,4,5, всего k=6 вариантов

По правилу произведения общее количество возможных трёхзначных чисел:

$$ mnk = 5 \cdot 6 \cdot 6 = 180 $$

б) цифры не повторяются

В разряде сотен могут быть цифры 1,2,3,4,5, всего m = 5 вариантов

В разряде десятков не цифра сотен, всего n = 5 вариантов

В разряде единиц не цифра десятков и не цифра сотен, всего k = 4 варианта

Всего $mnk = 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$

Ответ: а) 180; б) 100

Пример 4. Сколькими способами можно рассадить четырёх щенков по четырём углам комнаты?

У первого щенка $m_1 = 4$ варианта углов.

У второго щенка, т.к. один угол уже занят, остаётся $m_2 = 3$ варианта углов.

У третьего щенка, т.к. два угла уже заняты, остаётся $m_3 = 2$ варианта углов.

У четвертого щенка выбора нет, ему остался $m_4 = 1$ угол, без вариантов.

Общее количество способов по правилу произведения:

$$ m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 \cdot m_4 = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$

Ответ: 24 способа

Пример 5. Сколько существует способов занять 1,2 и 3 места на чемпионате, в котором участвуют 10 команд?

Для того, чтобы занять 1-е место существует $m_1 = 10$ претендентов.

Если 1-е место определено, для 2-го места остаётся $m_2 = 9$ претендентов.

Если 1-е и 2-е определено, для 3-го места остаётся $m_3 = 8$ претендентов.

Итого, по правилу произведения:

$m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 720 способов