Разность квадратов двух выражений

Формула квадрата суммы

Перемножим сумму и разность a и b:

$$ (a+b)(a-b) = a(a-b)+b(a-b) = a^2-ab+ab-b^2 = a^2-b^2$$

Мы получили формулу разности квадратов двух выражений:

$$ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 $$

ИЛИ:

$$a^2-b^2 = (a+b)(a-b) $$

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = 64b^4 c^2-9k^2$$

Или наоборот:

$$ 64b^4 c^2-9k^2 = (8b^2 c)^2-(3k)^2 = (8b^2 c+3k)(8b^2 c-3k) $$

Геометрическое объяснение

Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше
со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать:

$$ a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b $$

Откуда $$ a^2-b^2 =$$ $$ (a-b)^2+2b(a-b) = $$ $$ = (a-b)(a-b+2b) = $$ $$ = (a-b)(a+b) $$

Примеры

Пример 1. Найдите произведение:

а) $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $

б) $ (3-z)(z+3) = (3-z)(3+z) = 9-z^2$

в) $ (5b+6z)(5b-6z) = (5b)^2-(6z)^2 = 25b^2-36z^2 $

г) $ -(2mk-1)(2mk+1) = -((2mk)^2-1) = 1-4m^2 k^2 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(0,7x-11)(0,7x+11)+0,51x^2 = (0,7x)^2-11^2+0,51x^2 =$

$= 0,49x^2-121+0,51x^2 = x^2-121 $

б) $ 2z^2-(z+1)(z-1) = 2z^2-(z^2-1) = z^2+1$

в) $15a^2+(-3a-b)(3a-b) = 15a^2-(3a+b)(3a-b) = 15a^2—(9a^2-b^2 ) = 6a^2+b^2 $

г) (3a+7b)(7b-3a)+(-2a+5b)(2a+5b) = (7b+3a)(7b-3a)+

$+(5b-2a)(5b+2a) = (7b)^2-(3a)^2+(5b)^2-(2a)^2 = 49b^2-9a^2+25b^2-4a^2 = $

$= 74b^2-13a^2$

Пример 3. Разложите на множители:

а) $25-a^2 = 5^2-a^2 = (5+a)(5-a)$

б) $x^2-0,64 = x^2- 0,8^2 = (x+0,8)(x-0,8)$

в) $ –m^2+49n^2 = 49n^2-m^2 = (7n)^2-m^2 = (7n+m)(7n-m)$

г) $c^4 d^2-4k^2 = (c^2 d)^2-(2k)^2 = (c^2 d+2k)(c^2 d-2k)$

Пример 4. Вычислите:

а) $58^2-48^2 = (58+48)(58-48) = 106\cdot10 = 1060 $

б) $ 132^2-68^2 = (132+68)(132-68) = 200\cdot64 = 12800 $

в) $0,731^2-0,269^2 = (0,731+0,269)(0,731-0,269) = 1\cdot0,462 = 0,462 $

г) $(3 \frac{1}{7})^2-(3 \frac{6}{7})^2 = (3 \frac{1}{7}+3 \frac{6}{7})(3 \frac{1}{7}-3 \frac{6}{7}) = 7\cdot(-\frac{5}{7}) = -5$

Пример 5*. Докажите, что при любом значении переменной n выражение $(3n+5)^2-16$ делится на 3.

$ \frac{(3n+5)^2-16}{3} = \frac{(3n+5)^2-4^2}{3} = \frac{(3n+5-4)(3n+5+4)}{3} =$

$= \frac{(3n+1)(3n+9)}{3} = \frac{3(3n+1)(n+3)}{3} = (3n+1)(n+3)$

Что и требовалось доказать.