Размещения, сочетания и перестановки из трёх элементов
Что изучает комбинаторика
Представьте себе, что вы забыли пароль входа в аккаунт. Помните только, что это было трёхзначное число из цифр 1,2,3 и эти цифры не повторялись. Есть ли у вас шансы с помощью перебора зайти в аккаунт, если даётся всего три попытки? Такие задачи в современной жизни возникают довольно часто, и их решения изучаются в особом разделе математики - комбинаторике.
Комбинаторика – раздел математики, изучающий различные комбинации, которые можно составить из дискретных объектов, входящих в некоторое множество.
«Дискретные объекты» - это какие-то предметы, растения, животные, люди, здания, числа; всё, что можно «отделить» («дискретный» означает «отдельный») . Множество подобных объектов – это какая-то конечная группа, выбранная по какому-нибудь признаку.
Например:
Множество
Дискретные объекты – элементы множества
Фрукты
Яблоко, груша, слива, вишня, клубника
Деревья
Дуб, ель, сосна, береза
Домашние питомцы
Собака, кот, попугай
Цифры
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Виды комбинаций
Составлять из дискретных объектов комбинации можно по-разному, их можно размещать, переставлять, сочетать; а также, брать каждый объект только один раз или помногу.
Комбинации из трёх элементов без повторений
Рассмотрим комбинации из трёх цифр 1,2,3 без повторений.
Перестановки
Нужно переставлять три цифры так, чтобы их порядок был разным:
123, 231, 312, 132, 321, 213
Таких комбинаций 6. Записывают $P_3 = 6$.
(Теперь понятно, что за три попытки в аккаунт, о котором шла речь вначале параграфа, не войти. Разве что, повезёт )
Сочетания
Нужно выбирать от 1 до 3 цифр одновременно (порядок неважен), и смотреть, сколькими способами это можно сделать:
По 1 цифре: можно выбрать 1, или 2, или 3 – всего 3 комбинации
По 2 цифры: можно выбрать 1 и 2,1 и 3,2 и 3 – всего 3 комбинации
По 3 цифры: забрать всё 123 – 1 комбинация
Записывают: $C_3^1 = 3, C_3^2 = 3, C_3^3 = 1$
Размещения
Нужно выбирать от 1 до 3 цифр одновременно (порядок важен), и смотреть, сколькими способами это можно сделать:
По 1 цифре: можно выбрать 1, или 2, или 3 – всего 3 комбинации
По 2 цифры: можно выбрать 1 и 2, 2 и 1, 1 и 3, 3 и 1, 2 и 3, 3 и 2 – всего 6 комбинаций
По 3 цифры: получаем все перестановки – 6 комбинаций
Записывают: $A_3^1 = 3, A_3^2 = 6, A_3^3 = 6$
Комбинации из трёх элементов с повторениями
Рассмотрим комбинации из трёх цифр 1,2,3 с повторениями.
Перестановки
Нужно переставлять три цифры так, чтобы их порядок был разным:
111
112
113
211
212
213
311
312
313
121
122
123
221
222
223
321
322
323
131
132
133
231
232
233
331
332
333
Всего – 27 комбинаций.
Записывают $ \overline{P_3} = 27$Сочетания
Нужно выбирать от 1 до 3 цифр одновременно (порядок неважен), и смотреть, сколькими способами это можно сделать:
По 1 цифре: можно выбрать 1, или 2, или 3 – всего 3 комбинации
По 2 цифры: можно выбрать
11
12
22
13
23
33
Всего 6 комбинаций
По 3 цифры можно выбрать
111
112
113
122
123
222
133
232
233
333
Всего 10 комбинаций
Записывают: $ \overline{C_3^1} = 3, \overline{C_3^2} = 6, \overline{C_3^3} = 10$
Размещения
Нужно выбирать от 1 до 3 цифр одновременно (порядок неважен), и смотреть, сколькими способами это можно сделать:
По 1 цифре: можно выбрать 1, или 2, или 3 – всего 3 комбинации
По 2 цифры: можно выбрать
11
21
31
12
22
32
13
23
33
Всего 9 комбинаций
По 3 цифры: получаем все перестановки – 27 комбинаций
Записывают: $ \overline{A_3^1} = 3, \overline{A_3^2} = 9, \overline{A_3^3} = 27$
Примеры
Пример 1. Сколькими способами можно рассадить 3 человек за столом? У нас есть три места для трёх человек. Мы говорим о перестановках без повторений.
$$P_3 = 6$$
Ответ: 6 способов
Пример 2. На участие в олимпиаде нужно выбрать двух кандидатов из трёх. Сколькими способами это можно сделать? Нам не важен порядок выбора. Мы говорим о сочетаниях без повторений.
$$C_3^2 = 3$$
Ответ: 3 способа
Пример 3. Из трёх кандидатов нужно выбрать двух. Один из выбранных будет участвовать в олимпиаде, второй – в чемпионате. Сколькими способами это можно сделать?
$$A_3^2 = 6$$
Ответ: 6 способов
Пример 4. Сколько всего трёхзначных чисел, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2?
Поскольку числа трёхзначные, а цифр только две, цифры буду повторяться. Все возможные двузначные числа из 1 и 2:
11
12
21
22
Все возможные трёхзначные числа:
111
112
211
212
121
122
221
222
Всего – 8 комбинаций.
Ответ: 8 чисел
Пример 5. Сколько всего трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2 без повторений?
Речь идёт о перестановках без повторений.
012, 120, 201, 021, 210, 102
Из которых нужно исключить 012 и 021, т.к. это – не трёхзначные числа.
120, 201, 210, 102
Получаем 4 комбинации.
Ответ: 4 числа
Пример 6. Сколько всего трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2 с повторениями?
Все возможные комбинации по 2 из трёх цифр:
00
01
02
10
11
12
20
21
22
Впереди не может быть 0. Получаем возможные трёхзначные числа:
100
101
102
200
201
202
110
111
112
210
211
212
120
121
122
220
221
222
18 комбинаций.
Ответ: 4 числа
