Разложение на множители разности n-x степеней

Формула для разности вторых и третьих степеней

Формула разности двух квадратов (см.§22 данного справочника)

$$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $$

Формула разности двух кубов (см.§24 данного справочника)

$$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 )$$

Формула для разности четвёртых и пятых степеней

Выведем формулу для разности двух четвёртых степеней:

$$a^4-b^4 = (a^2-b^2 )(a^2+b^2 ) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2 ) =$$

$$= (a-b)(a(a^2+b^2 )+b(a^2+b^2 ) ) = (a-b)(a^3+ab^2+a^2 b+b^3 )$$

Получаем:

$$a^4-b^4 = (a-b)(a^3+a^2 b+ab^2+b^3 )$$

Предположим, что $a^5-b^5 = (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )$

Проверим нашу догадку:

$$ (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 ) = a(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )- $$

$$ -b(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 ) = $$

$$ = a^5+a^4 b+a^3 b^2+a^2 b^3+ab^4-a^4 b-a^3 b^2-a^2 b^3-ab^4-b^5 = a^5-b^5 $$

Получаем:

$$a^5-b^5 = (a-b)(a^4+a^3 b+a^2 b^2+ab^3+b^4 )$$

Формула для разности n -х степеней

Теперь можно обобщить полученные формулы для любой степени n:

$$a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2} b+⋯+ab^{n-2}+b^{n-1} ) $$

Эта формула справедлива для любого натурального $n\ge2$.

Формула для суммы нечетных n -х степеней

Получив формулу для разности любой степени n, можно вывести формулу для суммы, но не всех (!) степеней, а только нечётных.

Для нечётной степени $(-b)^n = -b^n$. Получаем:

$$ a^n+b^n = a^n-(-b)^n = (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2} b+⋯-ab^{n-2}+b^{n-1} ) $$

Эта формула справедлива для всех нечётных $n\ge3$.

Например, уже известная нам сумма кубов:

$$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 ) $$

Также, можем записать сумму пятых степеней:

$$a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3 b+a^2 b^2-ab^3+b^4 )$$

и т.д.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

а) $ x^6-y^6 = (x-y)(x^5+x^4 y+x^3 y^2+x^2 y^3+xy^4+y^5 )$

или

$x^6-y^6 = (x^2 )^3-(y^2 )^3 = (x^2-y^2 )(x^4+x^2 y^2+y^4 ) = $

$= (x-y)(x+y)(x^4+x^2 y^2+y^4 )$

или

$x^6-y^6 = (x^3 )^2-(y^3 )^2 = (x^3-y^3 )(x^3+y^3 ) =$

$ = (x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2 )(x^2-xy+y^2 )$ – самое полное разложение

б) $m^7-1 = (m-1)(m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1)$

в) $m^7+1 = (m+1)(m^6-m^5+m^4-m^3+m^2-m+1)$

г) $32a^5-b^5 = (2a-b)((2a)^4+(2a)^3 b+(2a)^2 b^2+2ab^3+b^4 ) =$

$ = (2a-b)(16a^4+8a^3 b+4a^2 b^2+2ab^3+b^4 )$

Пример 2. Докажите, что

а) $17^{10}-49^5 кратно 10$

$ \frac{17^{10}-49^5}{10} = \frac{17^{10}-(7^2 )^5}{10} = \frac{17^{10}-7^{10}}{10} = \frac{(17-7)(17^9+17^8\cdot7+⋯+7^9}{10} =$

$= 17^9+17^8\cdot7+⋯+7^9$

Что и требовалось доказать.

б) $9^{14}+19^7 кратно 100$

$ \frac{9^{14}+19^7}{100} = \frac{(9^2 )^7+19^7}{100} = \frac{81^7+19^7}{100} = \frac{(81+19)(81^6-81^5\cdot19+⋯+〖19〗^6 )}{100} =$

$= 81^6-81^5\cdot19+⋯+19^6$

Что и требовалось доказать.