Разложение многочленов на множители с помощью формул сокращенного умножения
Все формулы для разложения многочленов на множители
Квадрат двучлена
$a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$ - квадрат суммы
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$ - квадрат разности
Разность квадратов
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
Сумма/разность кубов
$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2 )$ - сумма кубов
$ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2 )$ – разность кубов
Куб двучлена
$a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = (a+b)^3$ - куб суммы
$a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 = (a-b)^3$ - куб разности
Алгоритм разложения многочлена на множители
- Если есть общий множитель, вынести его за скобки
- Проверить:
2а. Если многочлен – двучлен, он может быть разностью квадратов или суммой/разностью кубов.
2б. Если многочлен – трёхчлен, он может быть квадратом двучлена.
2в. Если многочлен имеет 4 члена, он может быть кубом суммы/разности.
- Если проверка шага 2 не удалась: попробовать перегруппировать члены и вернуться к шагу 1 для каждой группы слагаемых.
Примеры
Пример 1. Разложите на множители трёхчлен:
а) $x^2+10xy+25y^2 = x^2+2\cdot x \cdot 5y+(5y)^2 = (x+5y)^2$
б) $4a^2-4a+1 = (2a)^2-2\cdot 2a\cdot 1+1^2 = (2a-1)^2$
в) $1-12k+36k^2 = 1-2\cdot1\cdot6k+(6k)^2 = (1-6k)^2$
г) $81+y^2+18y = y^2+18y+81 = y^2+2\cdot9y+9^2 = (y+9)^2$
Пример 2. Разложите на множители двучлен:
а) $9a^2-b^2 = (3a)^2-b^2 = (3a+b)(3a-b)$
б) $64m^2-25k^2 = (8m)^2-(5k)^2 = (8m+5k)(8m-5k)$
в) $1-49k^2 b^4 = 1^2-(7kb^2 )^2 = (1+7kb^2 )(1-7kb^2 )$
г) $121y^2-81x^2 = (11y)^2-(9x)^2 = (11y+9x)(11y-9x)$
Пример 3. Разложите на множители двучлен:
а) $27a^3+8 = (3a)^3+2^3 = (3a+2)(9a^2-6a+4)$
б) $1-125p^3 q^6 = 1^3-(5pq^2 )^3 = (1-5pq^2 )(1+5pq^2+25p^2 q^4 )$
в) $ \frac{1}{64} m^3-729k^6=(\frac{m}{4})^3-(9k^2 )^3=(\frac{m}{4}-9k^2 )(\frac{m^2}{16}+ \frac{9}{4} mk^2+81k^4 )$
г) $ \frac{n^3}{216}+27m^9 = (\frac{n}{6})^3+(3m^3 )^3 = (\frac{n}{6}+3m^3 )(\frac{n^2}{36}+\frac{nm^3}{2}+9m^6 )$
Пример 4*. Представьте в виде куба суммы или разности:
а) $8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 = (2mk)^3+3\cdot(2mk)^2\cdot1+3\cdot2mk\cdot1^2+1^3 =$
$= (2mk+1)^3$
б) $125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3 = (5b)^3-3\cdot(5b)^2\cdot3c+3\cdot5b\cdot(3c)^2-(3c)^3 =$
$= (5b-3c)^3 $
Пример 5. Разложите на множители:
а) $25a^2-b^2+5a+b = (25a^2-b^2 )+(5a+b) = (5a+b)(5a-b)+(5a+b) =$
$= (5a+b)(5a-b+1)$
б) $x-2y-x^2+4y^2 = (x-2y)-(x^2-4y^2 ) = (x-2y)-(x-2y)(x+2y) =$
$= (x-2y)(1-(x+2y) ) = (x-2y)(1-x-2y)$
в) $(x^2-2)^2-(2x^2+3)^2 = ((x^2-2)+(2x^2+3) )((x^2-2)-(2x^2+3) ) =$
$ = (3x^2+1)\cdot(-x^2-5) = -(3x^2+1)(x^2+5)$
г) $(3a^2+1)^2-(a^2-3)^3 = ((3a^2+1)+(a^2-3) )((3a^2+1)-(a^2-3) ) =$
$= (4a^2-2)(2a^2+4) = 4(2a^2-1)(a^2+2)$
Пример 6. Разложите на множители:
а) $xz^2+yz-yz^2-xz = z(xz+y-yz-x) = z((xz-yz)-(x-y) ) =$
= z(z(x-y)-(x-y) ) = z(x-y)(z-1)
б) xz+yz-2z-axz-ayz+2az = z(x+y-2-ax-ay+2a) =
= z((x+y-2)-a(x+y-2) ) = z(1-a)(x+y-2)
Пример 7*. Разложите на множители:
а) $a^4+64 = (a^4+16a^2+64)-16a^2 = (a^2+8)^2-(4a)^2 =$
$= (a^2+8-4a)(a^2+8+4a) = (a^2-4a+8)(a^2+4a+8)$
б) $x^4+324 = (x^4+36x^2+324)-36x^2 = (x^2+18)-(6x)^2 =$
$= (x^2+18-6x)(x^2+18+6x) = (x^2-6x+18)(x^2+6x+18)$
в) $a^4+4b^4 = (a^4+4a^2 b^2+4b^4 )-4a^2 b^2 = (a^2+2b^2 )^2-(2ab)^2 =$
$= (a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab)$
г) $x^5+x+1 = x^5+(x^4+x^3+x^2 )+x+1-(x^4+x^3+x^2 ) =$
$= (x^5+x^4+x^3 )+(x^2+x+1)-(x^4+x^3+x^2 ) = $
$= x^3 (x^2+x+1)+(x^2+x+1)-x^2 (x^2+x+1) = (x^3-x^2+1)(x^2+x+1)$
Пример 8. Решите уравнение Декарта (1596-1650)
$y^3-8y^2-y+8 = 0$
$y^2 (y-8)-(y-8) = 0$
$(y^2-1)(y-8) = 0 \Rightarrow (y+1)(y-1)(y-8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} y_1 = -1 \\ y_2 = 1 \\ y_3 = 8 \end{array} \right. $
Ответ: $\pm$1; 8
Пример 9*. Решите уравнение Бхаскары (1114-1185)
$x^4-2x^2-400x = 9999$
$x^4-2x^2+1-400x = 9999+1$
$x^4-2x^2+1+4x^2 = 100^2+400x+4x^2$
$x^4+2x^2+1 = (100+2x)^2$
$(x^2+1)^2-(2x+100)^2 = 0$
$ (x^2+1-2x-100)(x^2+1+2x+100) = 0$
$((x^2-2x+1)-100)((x^2+2x+1)+100) = 0$
$((x-1)^2-10^2 )((x+1)^2+10^2 ) = 0$
Вторая скобка всегда положительна, нулю равняться не может. Первая скобка:
$$(x-1)^2-10^2 = 0 \Rightarrow (x-1-10)(x-1+10) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = 11 \\ x_2 = -9 \end{array} \right. $$
Ответ: -9; 11
