Равносильные уравнения, правила преобразований
п.1. Понятие равносильных уравнений
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.
Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
2x + 5 = 7
3x + 6 = 9
x = 1
x = 1
Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1
$\implies$ уравнения равносильны
(x - 3)(x + 2) = 0
2x + 4 = 0
$x_1 = 3 и x_2 = -2$
x = -2
Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень
$\implies$ уравнения неравносильны
x^2 + 1 = 0
2x^2 + 7 = 0
$\varnothing$
$\varnothing$
Оба уравнения не имеют решений
$\implies$ уравнения равносильны
п.2. Правила преобразования уравнений
При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.
Правила преобразования уравнений
- 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
- 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
- 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.
п.3. Примеры
Пример 1. Решите уравнение $ \frac {1}{5}x = 12 - 7x$
Решение:
$ \frac {1}{5}x = 12 - 7x \iff \frac {1}{5}x + 7x = 12 \iff 7 \frac {1}{5}x = 12 \iff x = 12:7 \frac {1}{5} \iff$
$ x = 12 \cdot \frac {5}{36} = \frac {5}{3} =1 \frac {2}{3} $
Ответ: x = 1 \frac {2}{3}
Пример 2. Решите уравнение $ \frac {3x}{7} - \frac {x}{14} = 10$
Решение:
$ \frac {3x}{7} - \frac {x}{14} = 10 | \times 14 \iff 6x - x = 140 \iff 5x = 140 \iff x = 140 : 5 = 28$
Ответ: x = 28
Пример 3. Решите уравнение $7x - \frac {2}{5} =\frac 15 (3x+14)$
Решение:
$7x - \frac 25 = \frac 15 (3x + 14) | \times 5 \iff 35x - 2 = 3x + 14 \iff 35x - 3x = 14 + 2 \iff$
$ \iff 32x = 16 \iff x = \frac {16}{32} = \frac 12$
Ответ: x = \frac 12
Пример 4. Решите уравнение $\frac {5x-1}{2} - \frac {3x+4}{8} = \frac {x-3}{4}$
Решение:
$\frac {5x-1}{2} - \frac {3x+4}{8} = \frac {x-3}{4} | \times 8 \iff 4(5x-1)-(3x+4)=2(x-3) \iff $
$ \iff 15x=2 \iff x= \frac {2}{15} $
Ответ: x = $\frac {2}{15}$
Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения
3(x-1)=5-x и ax=x+a
Решение:
Найдём корень первого уравнения
$3(x-1)=5-x \iff 3x-3=5-x \iff 3x+x=5+3 \iff 4x=8 \iff x=2$
Подставим во второе
$a \cdot 2=2+a \iff 2a-a=2 \iff a=2$
При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.
Ответ: a=2
