Прямая пропорциональность y = kx и её график
Определение прямой пропорциональности
Если машина движется со скоростью 50 км/ч, пройденное расстояние (в километрах) в зависимости от времени (в часах) s = 50t. Время мы определяем как $t\geq0$. Но механика позволяет нам рассчитать не только будущее положение тела, но и прошлое, подставив в формулу $t \lt 0$ и запросто «прокрутив» время назад. Поэтому в общем случае, если движение было и остаётся постоянным, мы получаем:
$${\left\{ \begin{array}{c} - \infty \lt t\lt + \infty \\ s = 50t \end{array} \right.}$$
Можно представить себе не только отрицательное время («поход в прошлое»). Ещё проще ввести отрицательные координаты: направо идём – координата растёт, становится положительной, поворачиваем налево – уменьшается, становится отрицательной.
В задачах, связанных с экономикой, величины также могут уходить в «плюс» и «минус»: покупки/продажи, кредиты/депозиты, доходы/затраты, прибыли/убытки . Часто эти величины изменяются на какую-то постоянную сумму с течением времени.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
$${\left\{ \begin{array}{c}- \infty \lt x \lt + \infty - аргумент, \quad любое \quad действительное \quad число \\ k = const ≠ 0 \quad - параметр, \quad константа \\ y = kx \quad - функция\end{array} \right.}$$
Функция такого вида называется прямой пропорциональностью.
Если $k \gt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.
Если $k \lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция убывает.
График прямой пропорциональности
Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.
Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:
Алгоритм построения графика прямой пропорциональности
- Выбрать произвольное значение аргумента $x_*\neq 0$
- Вычислить соответствующее значение функции $y_*=kx_*$
- Отметить на координатной плоскости точку $(x_*,y_* )$
- Провести прямую через начало координат (0;0) и точку $(x_*,y_* )$
Эта прямая – график прямой пропорциональности y=kx.
Например: построим график функции y = 2x
Примеры
Пример 1. Постройте графики прямых пропорциональностей.
Укажите, возрастает или убывает функция.
а) y = x
x
0
1
y
0
1
$k = 1 \gt 0$ – функция возрастает
б) y = 3x
x
0
1
y
0
3
$k = 3 \gt 0$ – функция возрастает
x
0
3
y
0
1
$k = \frac{1}{3} \gt 0$ – функция возрастает
x
0
1
y
0
-1
$k = -1 \lt 0$ – функция убывает
x
0
1
y
0
-2
$k = -2 \lt 0$ – функция убывает
x
0
2
y
0
-1
$k = -\frac{1}{2} \lt 0$ – функция убывает
Пример 2. Известно, что график прямой пропорциональности проходит через точку A(5;22). Проходит ли этот график через точки B(7;32,4)и C(9;39,6)?
Точка A определяет коэффициент пропорциональности:
$$ k= \frac{y_A}{x_A} = \frac{22}{5} = 4,4 $$
При $x = 7:y = 4,4 \cdot 7 = 30,8 \neq 32,4 \Rightarrow$ B не принадлежит графику.
При $x = 9:y = 4,4 \cdot 9 = 39,6 \Rightarrow C$ принадлежит графику.
Пример 3. Является ли прямой пропорциональностью функция, проходящая через точки:
а) A(1,5;2,75) и B(12;22)
Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:
$$ k_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2,75}{1,5} \stackrel{\text{ × 4}}{=} \frac{11}{6} = \frac{15}{6} $$
$$ k_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} = \frac{15}{6} $$
$k_A = k_B \Rightarrow$ прямая AB $y=1 \frac{5}{6} x$ является прямой пропорциональностью.
б) A(3;4,5) и B(5;8)
Найдём коэффициенты пропорциональностей для каждой из точек:
$$ k_A = \frac{y_A}{x_A} = \frac{2,75}{1,5} = \frac{4,5}{3} = 1,5 $$
$$ k_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{8}{5} = 1,6 $$
$k_A \neq k_B \Rightarrow$ прямая AB не является прямой пропорциональностью.
