Правила раскрытия скобок
п.1. Правила раскрытия круглых скобок
Раскрытие скобок в выражении – это тождественное преобразование, приводящее к избавлению от пары скобок.
При сложении:
b + (-a) = b - a
b - (-a) = b + a
(-a) + b = -a + b
При умножении:
(-a)b = -ab
a(-b) = -ab
(-a)(-b) = ab
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках не меняют, если:
1. перед скобкой стоит знак «+»: a + (b - c + d) = a + b - c + d
2. выражение начинается со скобки и перед ней знака:
(a+b-c)+d=a+b-c+d
Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках меняют на противоположные, если:
1. перед скобкой стоит знак «-»: a - (b - c + d) = a - b + c - d
2. выражение начинается с минуса перед скобкой:
-(a + b - c) + d = -a - b + c + d
Теперь, с помощью данных правил можно раскрывать скобки в любых выражениях. Например:
a +b(c + d - f + e) = a + bc + bd - bf + be
a - b(c + d - f + e) = a + bc + bd - bf + be
-a(b + c - d) + f = -ab - ac + ad + f
(a + b)(c - d) = a(c - d) + b(c - d) = ac - ad + bc - bd
(-a + b)(c + d) = -a(c + d) + b(c + d)= -ac - ad + bc + bd
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2=$
$=a^2 + 2ab + b^2$
п.2. Порядок раскрытия скобок
Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:
- сначала возвести многочлены в скобках в натуральную степень;
- затем слева направо провести умножение и деление;
- наконец, когда в скобках останутся только слагаемые, раскрыть скобки и привести подобные.
Пример 1. Раскройте скобки и упростите выражение:
-(2a + 5b) + (3a - 2b + 1) - (2a + 4) = -2a - 5b + 3a - 2b + 1 - 2a - 4 = (-2a + 3a - 2a) + (-5b - 2b) + (1 - 4) = -a - 7b - 3
Пример 2. Докажите, что при любых значениях переменной a значение выражения 3(2a - 7) - (a - (5a + 4)) отрицательно.
Доказательство:
● 3(2a - 7) - (a - 5(a + 1)) = 6a - 21 - a + 5(a + 1) = 6a - 21- a + 5a + 5 = (6a - a + 5a) + (-21 + 5) = 0 - 16 = -16
Значение выражение не зависит от переменной и всегда отрицательно.
Что и требовалось доказать. ○
Пример 3. Найдите куб разности $(2a-1)^3$
Решение:
$(2a - 1)^3 = (2a - 1)(2a - 1)(2a - 1)=(2a - 1)(2a(2a - 1) - (2a - 1))=$
$=(2a - 1)(4a^2 - 2a - 2a + 1)=(2a - 1)(4a^2 - 4a + 1)=$
$=2a(4a^2 - 4a + 1) - (4a^2 - 4a + 1)=8a^3 - 8a^2 + 2a - 4a^2 + 4a - 1=$
$=8a^3 - 12a^2 + 6a - 1$
Ответ: $8a^3 - 12a^2 + 6a - 1$
п.3. Правило раскрытия скобок модуля
Для одной переменной:
$ |x| = \left[ \begin{array}{cc} {x,}&{x \ge 0}\\ {-x,}&{x<0} \end{array} \right. $
Для выражения:
$ |f(x)| = \left[ \begin{array}{cc} {f(x),}&{f(x) \ge 0}\\ {-f(x),}&{f(x)<0} \end{array} \right. $
Пример 4. Найдите решение уравнения 2(x + 1) - 3|x - 1| = -1
Решение:
Найдём значение переменной, при котором выражение в скобках модуля равно нулю:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
Значит, скобки модуля раскрываются так:
$ |x-1| = \left[ \begin{array}{cc} {x-1,}&{f(x) \ge 1}\\ {-(x-1),}&{f(x)<1} \end{array} \right. $
Получаем два уравнения с ограничивающими условиями:
$$ |f(x)| = \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} 2(x+1)-3(x-1)=-1 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} 2(x+1)+3(x-1)=-1 \\ x < 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} 2x+2-3x+3=-1 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+2+3x-3=-1 \\ x < 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow $$
$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} -x=-6 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} 5x=0 \\ x < 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x=6 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x=0 \\ x < 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {x_1=0}\\ {x_2=6} \end{array} \right. $$
Ответ: $x_1=0,x_2=6$
Пример 5. Является ли тождеством равенство $|a - b| \cdot |b - a| = (a - b)^2$
Решение:
Раскроем скобки модулей:
$$|a - b| = \left[ \begin{array}{cc} {a-b,}&{a \ge b}\\ {b-a,}&{a < b} \end{array} \right. , |b - a| = \left[ \begin{array}{cc} {b-a,}&{a \ge b}\\ {a-b,}&{a < b} \end{array} \right. $$
Произведение:
$$|a - b| \cdot |b - a|= \left[ \begin{array}{cc} {(b-a)(b-a),}&{a < b}\\ {(a-b)(a-b),}&{a \ge b} \end{array} \right. $$
$$(b - a)(b -a)=-(a - b) \cdot (-(a - b)) = (a - b)(a - b)=(a - b)^2$$
Таким образом:
$$|a - b| \cdot |b - a| = \left[ \begin{array}{cc} {(a-b)^2,}&{a < b}\\ {(a-b)^2,}&{a \ge b} \end{array} \right. = (a - b)^2, ∀a \in \mathbb R и b \in \mathbb R $$
Равенство является тождеством.
Ответ: да
