Понятие и виды алгебраических выражений
п.1. Математические символы и выражения
В математическом языке мы используем особенные «слова», которые называются математическими выражениями, при этом «буквами» нам служат математические символы.
Греческие α,β,…,ω,Λ,Σ,Ω
Русские НОД, НОК,$ V_{пир} , S_{кр} $
Другие операции: $2^3, {\sqrt x}, \Rightarrow, \&, {\circ}, {\int}, {\sum}$
Другие знаки: $\forall, \exists, \to, \bot$
Список математических символов постоянно пополняется. Ведь при написании своей работы каждый вправе изобрести собственный иероглиф-символ, объяснить его смысл с помощью определения и предложить правила применения. Если символ окажется удачным и востребованным, то со временем он появится в других работах и начнёт самостоятельный путь по миру.
Допустим, по правилам, мы строим математические выражения, которые состоят из различных чисел (образованных цифрами, дробной чертой и десятичной запятой), знаков арифметических операций, возведения в рациональную степень, корней и скобок:
Например: $(1+5^2):3\frac 14 , \frac {4+3,5}{(12-6^3)+5} , \frac 12 - \frac 13 \cdot (-\sqrt 9) $
Такие выражения называют числовыми термами.
Например: $(1+5^2):3\frac 14 \gt 7, \frac {4+3,5}{(12-6^3)+5} \lt 0, \frac 12 - \frac 13 \cdot (-\sqrt 9) = 1\frac 12$
Такие выражения называют числовыми формулами.
Формула по сравнению с термом приобретает дополнительный смысл: она может быть «истинной» или «ложной». Три представленные выше формулы истинные. А вот 2+2=5 - ложная числовая формула.
п.2. Определение и понятие переменной
На практике при проведении расчётов очень часто возникают повторяющиеся ситуации, когда меняется только одна величина, а другие остаются постоянными. Например, нам нужно рассчитать площадь плит разной длины 7, 10 и 15 м, но одной и той же ширины 4 м. Тогда $S_1 = 4 \cdot 7 = 28 м^2, S_2 = 4 \cdot 10=40 м^2, S_3 = 4 \cdot 15=60 м^2 $. Эти расчёты можно обобщить, если записать S=4a, где первый множитель – постоянная ширина 4 м, а второй – переменная длина a м. Такое обобщение называется «введением переменной»; оно удобно тем, что даёт универсальный рецепт для расчётов.
Математические выражения с переменными также могут быть термами или формулами.
Термы с переменными: $(1+a^2):3 \frac 14 - b, \frac {4+mn}{(12-k^3)+5}, \frac 12 - \frac {1}{b^2+1} \cdot (-\sqrt 9) $
Формулы с переменными: $(1+a^2):3 \frac 14 - b > b, \frac {4+mn}{(12-k^3)+5} < 0, \frac 12 - \frac {1}{b^2+1} \cdot (-\sqrt 9) = f-3 $
п.3. Алгебраические и трансцендентные выражения
В зависимости от набора операций математические выражения делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).
Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (или возведения переменных в степень с дробным показателем), то его называют целым выражением.
Примеры целых выражений:
$7, \frac {3a^2}{5}+48, (\sqrt 7b-4c^3)^5$ - термы $b-\frac 32 = 8,28c^2 > \sqrt 2$ - формулы
Если алгебраическое выражение, кроме признаков целого выражения, содержит также деление на переменные, то его называют дробным выражением.
Примеры дробных выражений:
$\frac 7m, 3a^2 + \frac {48}{k-4}, (\sqrt 7b-\frac {4}{c^3})^5$ - термы $b-\frac {2}{2+a} = 8,28c^2 > \frac {\sqrt 2}{5k}$ - формулы
Целые и дробные выражения объединяют в класс рациональных выражений.
Если алгебраическое выражение содержит извлечение корня из переменных (или возведение переменных в степень с дробным показателем), то его называют иррациональным выражением.
Примеры иррациональных выражений:
$\sqrt a - \sqrt[3]{b^4}, 1 + a^{\frac 23}, \frac {1 - \sqrt a}{1 + \sqrt b}$ - термы $\sqrt[3]{a} = 34, 22 - \frac {8}{1=\sqrt b} \le 1+k $ - формулы
п.4. Примеры
Пример 1. Запишите числовую формулу и проверьте, истинна ли она: удвоенное произведение чисел 75 и $3 \frac 13$ равно полу разности чисел 1440 и 480.
Решение:
Числовая формула по условию: $2 \cdot 72 \cdot 3 \frac 13 = \frac{1440-480}{2}$
Значение выражения слева $2\cdot72\cdot3 \frac 13 = 2\cdot24\cdot3\cdot \frac{10}{3}=480$
Значение выражения справа $\frac {1440-480}{2} = \frac {960}{2} = 480$
Значения выражений слева и справа действительно равны, формула истинна.
Ответ: формула истинна
Пример 2. Найдите значение алгебраического выражения 2a - 5b + 11, если $a = 3\frac 14$ и b=3,5
Решение:
Подставляем значения переменных:
$2\cdot3\frac 14 - 5 \cdot 3,5 + 11 = \frac{13}{2} -17,5 + 11 = 0$
Ответ: 0
Пример 3. Известно, что x - y = 21. Найдите значение выражения $\frac{3(x+y)-6y}{7}$
Решение:
$\frac{3(x+y)-6y}{7} = \frac{3x+3y-6y}{7} = \frac{3x-3y}{7} = \frac{3(x-y)}{7}$
При x-y=21 получаем: $\frac {3(x-y)}{7} = \frac {3\cdot21}{7} = 3 \cdot 3 = 9 $
Ответ: 9
Пример 4. Для проведения экзамена закупили k пачек бумаги по p рублей и m картриджей для принтера по q рублей. Напишите формулу, по которой можно найти общую сумму расходов S.
Решение:
Сумма, потраченная на бумагу $s_1 = kp$
Сумма, потраченная на картриджи $s_2 = mq$
Общая сумма расходов $S = s_1 + s_2$. Получаем: $S = kp + mq$
Значения выражений слева и справа действительно равны, формула истинна.
Ответ: S=kp+mq
