Главная Справочник Алгебра 7 класс Понятие и основные характеристики функции

Понятие и основные характеристики функции

Определение функции
Параметры, независимые и зависимые переменные
Примеры

Определение функции

Представьте себе, что вы едете на машине. Через 1 час вы смотрите на карту в телефоне, и видите, что проехали 50 км. Через 2 часа, заглянув в телефон, видите, что позади уже 100 км. Сколько же вы проедете через 3 часа? Скорее всего, 150 км.

Откуда взялась эта цифра? Очевидно, из ваших выводов о скорости: наблюдения показывают, что вы едете со средней скоростью 50 км/ч, и через 3 часа преодолеете расстояние:

$$ s = 50t, s = 50 \frac{км}{ч} \cdot 3ч = 150 км $$

Если скорость известна, в эту формулу можно подставить любое время и найти соответствующее расстояние:

$$ t = \{1 ч,2ч,3ч,5ч,10ч\} \rightarrow s = \{50 км,100 км,150 км,250 км,500 км\} $$

Такие соответствия в математике называют функциями.

Наиболее общее определение в математике:

Функция – это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Параметры, независимые и зависимые переменные

В примере с машиной у нас постоянная скорость v = 50 км/ч – это параметр нашей модели; параметры являются постоянными величинами.

Мы подставляем в формулу любое время t – это независимая переменная или аргумент.

И по определенному правилу получаем расстояние s(t) – это зависимая переменная или функция.

Можем дать более «узкое» и простое определение:

Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции.

Все значения зависимой переменной образуют область значений функции.

Примеры

Пример 1. Запишите формулы, чтобы задать следующие функции. Укажите независимые переменные, параметры (если есть) и зависимые переменные:

а) Известна сторона квадрата a см. Чему равна площадь квадрата?

Площадь квадрата равна: $S = a^2 (см^2)$

Независимая переменная: сторона квадрата a см

Параметр: нет

Зависимая переменная: площадь $S см^2$

б) Ширина прямоугольника равна a см, длина – 5 см. Чему равен периметр прямоугольника?

Периметр прямоугольника равен: P = 2(a+5) (см)

Независимая переменная: ширина a см

Параметр: длина 5 см

Зависимая переменная: периметр P см

в) На депозит в банк положено d руб, по депозиту выплачивается 10% годовых. Сколько денег получит вкладчик в конце года?

Сумма в конце года: S = 1,1d (руб)

Независимая переменная: сумма депозита d руб

Параметр: процент 10%

Зависимая переменная: сумма к выплате S руб.

г) Машина находилась в 10 км от станции и продолжила двигаться от неё по тому же пути со скоростью 40 км/ч. На каком расстоянии от станции s (км) будет машина через t часов?

Расстояние от станции: s = 10+40t (км)

Независимая переменная: время t ч

Параметры: начальное расстояние 10 км и скорость 40 км/ч

Зависимая переменная: расстояние s км

Пример 2. Функция задана формулой $y = \frac{24}{x}$

1) Заполните таблицу:

x	-6	-3	-2	4	8	12
y	$\frac{24}{-6} = -4$	$\frac{24}{-3} = -8$	$\frac{24}{-2} = -12$	$\frac{24}{4} = 6$	$\frac{24}{8} = 3$	$\frac{24}{12} = 2$

2) Найдите y(-5) и y(9):

$y(-5) = \frac{24}{-5} = -4,8$

$y(9) = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

3) Найдите x, если y = -3, y = 8

$ \frac{24}{x} =-3 \Rightarrow x = \frac{24}{-3} = -8 $

$ \frac{24}{x} = 8 \Rightarrow x = \frac{24}{8} = 3 $

Пример 3*. На депозит в банк положено d руб, по депозиту начисляется 1% каждый месяц. Депозит можно забрать через полгода. Постройте таблицу роста общей суммы на счету каждый месяц в течение полугода.

Запишите конечную формулу и рассчитайте по ней сумму, полученную через полгода при $d_0$ = 10 000 руб. Сколько можно получить, если при тех же условиях (1% в месяц) забрать депозит $d_0$ через 20 лет?

t,мес	0	1	2	3	4	5	6
S,руб	d	1,01d	$(1,01)^2 d$	$(1,01)^3 d$	$(1,01)^4 d$	$(1,01)^5 d$	$(1,01)^6 d$

Конечная формула:

$$S = (1,01)^6 d$$

Для депозита $d_0$:

$$S = (1,01)^6 \cdot 10 000 ≈ 10 615 руб 20 коп$$

Если депозит $d_0$ забрать через 20 лет = 240 месяцев, он увеличится приблизительно в 11 раз:

$$S = (1,01)^{240} \cdot 10 000 ≈ 108 925 руб 54 коп$$

Пример 4*. Во сколько раз увеличатся знания, если каждый день в течение года узнавать ещё m% чего-то нового? Во сколько раз уменьшатся знания, если каждый день в течение года забывать m% того, что знали?

Найдите общую формулу.

Рассчитайте успехи и потери при m = 1%.

Пусть знания вначале равны $K_0$.

Если они увеличиваются, то на следующий день: $K_1 = K_0 (1+0,01m)$

Если продолжаем учиться, то к концу года: $K_{365} = K_0 (1+0,01m)^{365}$

Формула увеличения знаний за год:

$$G = \frac{K_{365}}{K_0} = (1+0,01m)^{365} $$

Аналогично, если ничего не делаем, и забываем каждый день понемногу, то формула потерь за год:

$$L = (1-0,01m)^{365} $$

Посчитаем для m = 1%.

Если каждый день узнавать 1% чего-то нового, за год:

$$G = (1,01)^{365} ≈ 37,8$$