Основные свойства сложения и умножения
п.1. Основные законы сложения и умножения
1. Переместительный закон
Сумма не меняется от перестановки её слагаемых: a + b = b + a.
2. Сочетательный закон
Сумма не зависит от группировки её слагаемых: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
3. Свойство нуля
Сумма нуля и любого числа равна этому числу: 0 + a = a
4. Свойство противоположных чисел
Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (-a)=0
1. Переместительный закон
Произведение не меняется от перестановки его сомножителей: ab = ba.
2. Сочетательный закон
Произведение не зависит от группировки его сомножителей: (ab)c = a(bc) = abc
3. Распределительный закон
Произведение числа и суммы равно сумме произведений числа на слагаемые суммы: $$a(b +c )= ab + ac$$
4. Свойство единицы
Произведение единицы и любого числа равно этому числу: $1 \cdot a = a$
5. Свойство нуля
Произведение нуля и любого числа равно нулю: $0 \cdot a = 0$
6. Свойство обратных чисел
Произведение обратных чисел равно единице: $a \cdot a \frac 1a = 1 (a \neq 0)$
Применение переместительных и сочетательных законов сложения и умножения к числовым выражениям значительно облегчает вычисления.
Пример 1. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений
$(3\frac {17}{25} + 4\frac {7}{9}) + (2\frac {8}{25} - 1\frac {4}{9}) + \frac 23 \cdot 0,2 \cdot 0,8 \cdot 5 \cdot 1,25 =$
$= (3\frac {17}{25} + 2\frac {8}{25}) + (4\frac {7}{9} - 1\frac {4}{9}) + \frac 23 \cdot (0,2 \cdot 0,5) \cdot (0,8 \cdot 1,25) =$
$= (3 + 2 \frac {17 + 8}{25} + 4 - 1) + \frac {7-4}{9} + \frac 23 \cdot 1 \cdot 1 = 9 + (\frac 13 + \frac 23) = 10$
Ответ: 10
Пример 2. Вычислите удобным способом:
$(74,7 \cdot \frac {2}{21} + (-105,3) \cdot 2 \frac 37 - (-105,3) \cdot \frac {2}{21} - 2 \frac {3}{7} \cdot 74,7) : 10 =$
$( \frac {2}{21} (74,7 + 105,3) - 2 \frac 37 (105,3 + 74,7)) : 10 = ( \frac {2}{21} - 2 \frac 37 ) \cdot (74 + 105 + 1) : 10 = $
$( \frac {2}{21} - \frac {9}{21} - 2) \cdot (180 : 10) = \frac {-7 - 42}{21} \cdot 18 = \frac {-49}{7} \cdot 6 = -7 \cdot 6 = 42$
Ответ: 42
п.2. Приведение подобных слагаемых
Применение законов сложения и умножения к выражениям с переменными также даёт возможность их упростить, прежде всего, с помощью приведения подобных слагаемых.
Подобные слагаемые – это слагаемые в выражении с переменными, имеющие одинаковую буквенную часть (любое буквенное выражение); числа без буквенной части также считаются подобными слагаемыми.
Заметим, что в выражении 3ab+2ba слагаемые подобны, т.к. 2ba=2ab по переместительному закону умножения.
Поэтому 3ab+2ba=3ab+2ab=(3+2)ab=5ab.
Получаем следующий алгоритм.
Алгоритм приведения подобных слагаемых
1. Провести перестановку слагаемых так, чтобы подобные слагаемые оказались рядом, сгруппировать их с помощью скобок.
2. Вынести за скобки буквенную часть подобных слагаемых.
3. Вычислить значение числового выражения в скобках. Это – новый числовой коэффициент.
4. Заменить подобные слагаемые в выражении полученным результатом.
Пример 3. Упростите выражение:
$3(a + 4b - 1) - 4(2a - b + 4) + a = 3a + 3 \cdot 4b - 3 - 4 \cdot 2a + 4b - 16 + a=$
$= (3a - 8a + a) + (12b + 4b) - (3 + 16) = (3 - 8 + 1)a + (12 + 4)b - 19=$
$= -4a + 16b - 19$
Пример 4. Упростите выражение и найдите его числовое значение, если x=8:
$2x(x - 4) + 4(18 - x^2 ) + x(2x - 1)=2x^2 - 8x + 72 - 4x^2 + 2x^2 - x=$
$=(2 - 4 + 2)x^2 + (-8 - 1)x + 72 = -9x + 72$
При x=8 получаем: -9∙8+72=0
Ответ: 0
