Основное свойство алгебраических дробей
Определение алгебраической дроби
В §1 данного справочника мы уже давали определение алгебраических выражений, как целых, так и дробных. А в §14 данного справочника мы ввели понятие многочлена.
Алгебраическая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель – многочлены (при условии, что знаменатель отличен от нуля).
Алгебраическая может содержать все арифметические действия над переменнымии возведение в целую степень, но не содержит корней из переменных (или дробных степеней переменных) . При этом корни и дробные степени от чисел в рациональных дробях брать можно:
$$ \frac{25x^2-8a}{15c}$$
$$ \frac{32x-\sqrt 2}{y+5}$$
$$ \frac{2t+1}{ \sqrt[3]5 t^2}$$
$$ \frac{25\sqrt x-8a}{15c^{1/6}}$$
$$ \frac{32x-\sqrt 2}{\sqrt[3]y+5}$$
$$ \frac{2t+1}{\sqrt[3]5 t^{2/5}}$$
Внимание!
Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.
Например: дробь $\frac{b}{2+a}$ существует, если $2+a ≠ 0 \iff a ≠ -2$
a = -2 – недопустимое значение переменной a.
При этом b может быть любым действительным числом, без ограничений.
Эти два факта записывают так: $ {\left\{ \begin{array}{c} a \in \Bbb R, a ≠ -2 \\ b \in \Bbb R \end{array} \right.}$
Основное свойство алгебраической дроби
При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:
$$ \frac{a}{b} = \frac{ma}{mb}, b ≠ 0, m ≠ 0 $$
Это свойство означает, что мы может сокращать алгебраическую дробь на общий множитель, если такой найдётся для числителя и знаменателя. Например:
$$ \frac{10a-4b}{25a^2-4b^2} = \frac{2(5a-2b)}{(5a-2b)(5a+2b)} = \frac{2}{5a+2b} $$
Также, это свойство разрешает нам приводить алгебраические дроби к общему знаменателю и выполнять сложение или вычитание. Например:
$$ \frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{(a+b)(a-b)}+\frac{a-b}{(a+b)(a-b)} = \frac{a+b+a-b}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a^2-b^2}$$
Примеры
Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:
а) $ \frac{5}{a-3}$
$$ a-3 ≠ 0 \iff a ≠ 3 $$
$ a \in \Bbb R, a ≠ 3$ - все действительные числа, кроме 3.
б)$ \frac{7k}{12-m}$
$$ 12-m ≠ 0 \iff m ≠ 12 $$
$m \in \Bbb R, m ≠ 12$ - все действительные числа, кроме 12.
$k \in \Bbb R$ - все действительные числа
в) $ \frac{4b}{k+3}$
$$k+3 ≠ 0 \iff k ≠ -3$$
$k \in \Bbb R, k ≠ -3$ - все действительные числа, кроме -3.
$ b \in \Bbb R$ - все действительные числа.
г) $ \frac{12}{b}$
$b \in \Bbb R, b ≠ 0$ - все действительные числа, кроме 0.
Пример 2. Выразите переменные из формул:
а) s = vt. Найти v и t
$$ v = \frac{s}{t}, t = \frac{s}{v} $$
б)m = ρV. Найти ρ и V
$$ρ = \frac{m}{V}, V = \frac{m}{p} $$
в) p = ρgh. Найти ρ и h
$$ρ = \frac{p}{gh}, h = \frac{p}{ρg}$$
г) $x = x_0+vt.$ Найти v и t
$$vt = x-x_0 \Rightarrow v = \frac{x-x_0}{t}, t = \frac{x-x_0}{v}$$
Пример 3. Сократите дроби:
а) $$ \frac{2a(a+b)}{a^2} = \frac{2(a+b)}{a}$$
б) $$\frac{2a(a+b)}{3(a+b)} = \frac{2a}{3} $$
в) $$ \frac{2a(a+b)}{4a} = \frac{a+b}{2}$$
г) $$ \frac{2a(a+b)}{a^2-b^2} = \frac{2a(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{2a}{a-b}$$
д) $$ \frac{2a(a+b)}{b^2-a^2} = \frac{2a(b+a)}{(b+a)(b-a)} = \frac{2a}{b-a}$$
е) $$ \frac{2a(a+b)}{a^2+2ab+b^2} = \frac{2a(a+b)}{(a+b)^2} = \frac{2a}{a+b}$$
Пример 4. Разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дроби:
а) $$ \frac{a^3-5a^2 b}{5a^2 b-5a^3} = \frac{a^2 (a-5b)}{5a^2 (b-a)} = \frac{a-5b}{5(b-a)} $$
б) $$ \frac{12x^2+18xy}{18x^2+12xy} = \frac{6x(2x+3y)}{6x(3x+2y)} = \frac{2x+3y}{3x+2y}$$
в) $$ \frac{a^2-b^2}{ab-b^2 } = \frac{(a-b)(a+b)}{b(a-b)} = \frac{a+b}{b}$$
г) $$ \frac{1-y^2}{(y-1)^2} = \frac{1-y^2}{(1-y)^2} = \frac{(1-y)(1+y)}{(1-y)(1-y)} = \frac{1+y}{1-y}$$
