Одночлен и его стандартный вид
Определение одночлена
Одночлен – это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней.
Одночленами также считают все числа, любые переменные и их степени.
Например:
Являются одночленами
Не являются одночленами
$ 5m^2 n $
$ \left(\frac{3}{4}\right)^2 k $
$8^3$
$ -34m^7 pm^4 z$
abcde
$a^2 b+1$
$ 4(k+n)^2 $
$ 500-m^4+2m^2 $
$ 10p^2+k $
Стандартный вид одночлена – представление одночлена в виде произведения, в котором на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент одночлена), а все остальные множители являются степенями различных переменных.
Степень одночлена – это сумма показателей всех переменных, в него входящих.
Например:
$x^2\cdot23xy$ - одночлен нестандартного вида, с коэффициентом 23 и степенью 4 (x в кубе и y в первой степени);
$-\frac{3}{15}a^3 b^2$ – одночлен стандартного вида, с коэффициентом $\left(-\frac{3}{15}\right)$ и степенью 5 (a в кубе и b в квадрате);
9 - одночлен стандартного вида, с коэффициентом 9 и степенью 0;
a - одночлен стандартного вида, с коэффициентом 1 и степенью 1.
Число 0, а также одночлены, тождественно равные нулю (например, $0 \cdot x^3, 0\cdot mn$), называются нуль-одночленами. Считают, что нуль-одночлен степени не имеет. Одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2ab^3 c^2 и -\frac{7}{5}ab^3 c^2$) называются подобными.
Приведение одночлена к стандартному виду
Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида.
Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду
- Определить коэффициент одночлена: перемножить все числовые множители и записать результат первым множителем.
- Используя свойства степеней, найти общую степень для каждой из переменных одночлена.
Если в одночлен в качестве множителей входят несколько переменных, их принято записывать по алфавиту. Но это не является обязательным.
Примеры
Пример 1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида, найдите его коэффициент и степень:
а) $ \frac{1}{2}x^5y^4c \cdot (-5xy^2 c^3) = \frac{1}{2} \cdot (-5) \cdot c^{1+3} \cdot x^{5+1} \cdot y^{4+2} = -2,5c^4 x^6 y^6 $
коэффициент (-2,5), степень 4+6+6 = 16
б) $ -(3m^4)^2 \cdot (-m^3 kp)^3 = -3^2 \cdot (-1)^3 \cdot k^3 \cdot m^{8+9} \cdot p^3 = 9k^3 m^17 p^3 $
коэффициент 9, степень 3+17+3 = 23
в) $ (-2)^3 xy \cdot 1,5(x^4 y)^2 = -8 \cdot 1,5 \cdot x^{1+8} \cdot y^{1+2} = -12x^9 y^3 $
г) $ (8m^3 )^2 n^3 \cdot \frac{1}{(4mn)^3} = \frac{8^2 m^6 n^3}{4^3 m^3 n^3} = \frac{(2^3)^2}{(2^2)^3} \cdot \frac{m^6}{m^3} \cdot \frac{n^3}{n^3} = m^3$
коэффициент 1, степень 3
Пример 2. Запишите одночлен в стандартном виде и найдите его числовое значение:
а) $ \frac{1}{2} xy\cdot \frac{1}{4}x^2 при x = 2, y = 3 $
$ \frac{1}{2}xy \cdot \frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot x^{1+2}\cdot y = \frac{1}{8} x^3 y $
Подставляем: $ \frac{1}{8}\cdot2^3\cdot3 = 3 $
б) $ (-2a^2 b^3) \cdot \left(\frac{0,5}{ab}\right)^2 при a = 73,b = 3 $
$ (-2a^2 b^3) \cdot \left(\frac{0,5}{ab}\right)^2 = -2 \cdot \frac{1}{2}^2 \cdot \frac{a^2}{a^2} \cdot \frac{b^3}{b^2} = -\frac{1}{2}b $
Подставляем: $ -\frac{1}{2}\cdot3 = -1,5 $
Пример 3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) $ 16x^4 y^2 z^6 = 4^2\cdot(x^2 )^2\cdot y^2\cdot(z^3 )^2 = (4x^2 yz^3 )^2 $
б) $ \frac{49}{64}x^{12} y^4 z^{16} = (\frac{7}{8} x^6 y^2 z^8 )^2 $
Пример 4*. Известно, что $ 5a^2 b^3 = 7$. Найдите значение выражения $ -\frac{4}{49} a^6 b^9 $
Выразим произведение переменных через число: $ a^2 b^3 = \frac{7}{5} $
Преобразуем выражение:
$$ -\frac{4}{49} a^6 b^9 = -\frac{4}{49} \left(\underbrace{a^2 b^3}_{=7/5\text{}}\right)^3 = -\frac{4}{7^2} \cdot \left(\frac{7}{5}\right)^3 = -\frac{4}{5^3} \cdot \frac{7^3}{7^2} = -\frac{28}{125} $$
Ответ: $ -\frac{28}{125} $
