Многочлен и его стандартный вид
Понятие многочлена и его стандартного вида
Многочлен – это алгебраическое выражение, которое является суммой одночленов.
Например: $ 5x^2 y+4xy^2-3; a-2; 4m^3 n+n $
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, из трёх – трёхчленом. В алгебре многочлены также часто называют полиномами (греч. «поли» - много, «номос» - член), а двучлены – биномами (лат. «би» - два).
Стандартный вид многочлена – представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.
Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду
- Привести к стандартному виду все одночлены, входящие в многочлен
- Привести подобные члены
Как представить одночлен в стандартном виде – (см. §12 Одночлен и его стандартный вид).
Как привести подобные слагаемые – (см. §2 Основные свойства сложения и умножения).
Число 0, а также многочлены тождественно равные нулю (например, $0a+0b,z^2-z^2$) называют нуль-многочленами. Их не относят к многочленами стандартного вида. Считают, что нуль-многочлен степени не имеет.
Примеры
Пример 1. Упростите многочлен, записав его в стандартном виде. Укажите степень многочлена:
а) $ x^2 yxy+\frac{1}{2} x^3 y^4-\frac{1}{3} yx^3 y+3xyx^2 y^3 = x^3 y^2+\frac{1}{2} x^3 y^4-\frac{1}{3} x^3 y^2+3x^3 y^4 = $
$ = \left(1-\frac{1}{3}\right) x^3 y^2+\left(\frac{1}{2}+3\right)x^3 y^4 = \frac{2}{3} x^3 y^2+3,5 x^3 y^4 $
Первый одночлен имеет степень 3+2 = 5, второй 3+4 = 7.
Степень многочлена 7.
б) $ 25abca^2-2a^2 c^3+cac^2 a-12a^3 bc=25a^3 bc-2a^2 c^3+a^2 c^3-12a^3 bc = $
$ = (25-12) a^3 bc+(-2+1) a^2 c^3 = 13a^3 bc-a^2 c^3 $
Оба одночлена имеют одинаковую степень: 3+1+1 = 5 и 2+3 = 5.
Степень многочлена 5.
Пример 2. Упростите многочлен и найдите его числовое значение, если a = 0,1 и b = 1:
а) $ 6a^{10}+3a-15b-3a^{10}+7a+8b-3a^{10} = (6-3-3) a^{10}+(3+7)a+(-15+8)b = 10a-7b $
Подставляем: $10 \cdot 0,1-7 \cdot 1 = 1-7 = -6$
б) $ 8y^3-16+ab-y^3+8ab-7y^3 = (8-1-7) y^3+(1+8)ab-16 = 9ab-16 $
Подставляем: $ 9\cdot 0,1\cdot 1-16 = 0,9-16 = -15,1 $
Пример 3. Запишите в виде многочлена число X, которое имеет:
а) a тысяч, b сотен, 0 десятков, c единиц
По условию: $ X = 1000 \cdot a+100 \cdot b+10 \cdot 0+1 \cdot c = 1000a+100b+c$
б) a десятков тысяч, b тысяч, c единиц
По условию:
$ X = 10000 \cdot a+1000 \cdot b+100 \cdot 0+10 \cdot 0+1 \cdot c = 10000a+1000b+c $
