Линейные неравенства с двумя переменными и их системы
Линейное неравенство с двумя переменными и его решение
Неравенство вида ax+by $ \begin{bmatrix} \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end{bmatrix} $ c , где a, b, c - данные числа, называется линейным неравенством с двумя переменными x и y.
Например: $2x+5y \lt 6; -x+1, 5y \ge 0; \frac{1}{2} x-8y \gt 7$
Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это неравенство в истинное выражение.
Например: для неравенства $2x+5y \lt 6$
пара (-1;-2) является решением, т.к. $2\cdot(-1)+5 \cdot (-2) = -12 \lt 6$ – истина
пара (1;2) не является решением, т.к. $2\cdot1+5\cdot2=12 \not\lt 6$ – ложь
Графическое представление линейного неравенства с двумя переменными
Графическим представлением линейного неравенства с двумя переменными вида ax+by$ \begin{bmatrix} \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end{bmatrix} $ c является полуплоскость с границей ax+by = c.
Для строгого неравенства граница не входит в представление, для нестрогого неравенства – входит.
Например:
$2x+3y \lt 4$
$2x+3y \le 4$
$2x+3y \gt 4$
$2x+3y \ge 4$
Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными
Графическим решением системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечение их графических представлений на плоскости.
Напомним, что:
Пересечение двух множеств – это множество, которому принадлежат только те элементы, которые одновременно входят в оба множества.
Пересечение обозначают знаком $\cap$.
Найдём графическое решение системы линейных неравенств:
$$ {\left\{ \begin{array}{c}2x+3y \ge 4 \\ 2x-y \ge -4 \\ 2x+y \le 4 \end{array} \right.}$$
Решением является треугольник ABC, где A(-1;2), B(0;4), C(2;0).
Примеры
Пример 1. Найдите графическое представление линейного неравенства:
а)$ x+y \lt 4 $
Граница x+y = 4
$y \lt -x+4$
Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит
б) $2x-y \ge 5$
Граница 2x-y = 5
$y \le 2x-5$
Представление – полуплоскость под границей, сама граница входит
в)$ x \ge 2$
Граница x = 2
Представление – полуплоскость справа от границы, сама граница входит
г)$ y \lt 3 $
Граница y = 3
Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит
Пример 2*. Найдите графическое решение системы линейных неравенств:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} |x|+y \lt 2 \\ |x|-y \lt 4 \end{array} \right.} $$
Распишем модули:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} y \lt -|x|+2 \\ y \gt |x|-4 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} {\left\{ \begin{array}{c} y \lt -x+2, x≥0 \\ y \lt x+2, x \lt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} y \gt x-4, x \ge 0 \\ y\gt -x-4, x \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right.} $$
Получаем:
Решением является квадрат ABCD, где A(-3;-1), B(0;2), C(3;1), D(0;-4)
Пример 3*. Автоперевозчику поступил заказ на перевозку 30 т груза. У него есть 5 машин грузоподъёмностью 3 т и 5 машин грузоподъёмностью 5 т.
Расход топлива для каждого типа грузовиков соответственно 20 и 24 л, общий расход не должен превышать 170 л.
Подберите состав грузовиков для выполнения заказа.
Пусть x - количество грузовиков по 3т, y – по 5т.
По условию задачи:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} 3x+5y \ge 30 \\ 20x+24y \le 170 \\ x \le 5 \\ y \le 5 \end{array} \right.} $$
Решением системы неравенств является заштрихованный треугольник. Единственным целочисленным решением является точка A(2;5) Таким образом, для выполнения заказа нужно 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т.
Их суммарная грузоподъёмность: $3 \cdot 2+5 \cdot 5 = 31 \gt 30$ достаточна
Суммарный расход топлива: $ 20 \cdot 2+24 \cdot 5 = 160 \lt 170 $ не превышает лимит
Ответ: 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т
