Линейное уравнение с одной переменной
п.1. Количество корней линейного уравнения с одной переменной
Линейным уравнением с одной переменной x называют уравнение вида ax = b, где a и b - действительные числа.
a называют коэффициентом при переменной , а b - свободным членом .
При решении линейных уравнений возможны три случая.
a ≠ 0
$b \in \Bbb R$ - любой
Один корень
a = 0
b = 0
$x \in \Bbb R$ - любой
Бесконечное множество корней
a = 0
b ≠ 0
$x \in \Bbb \varnothing $
Решений нет
п.2. Примеры
Пример 1. Решите уравнение 6-5x = 8(3,5-2x)
Решение:
$ 6-5x = 8(3,5-2x) \iff 6-5x = 28-16x \iff -5x+16x = 28-6 \iff $
$ \iff 11x = 22 \iff x = 2 $
Ответ: x=2
Пример 2. Решите уравнение $\frac{2}{3} x-\frac{4}{5} = 0,6x$
Решение:
$ \frac{2}{3}x-\frac{4}{5} = 0,6x | ×15 \iff 2x∙5-4∙3 = 0,6x∙15 \iff 10x-12=9x \iff $
$ \iff 10x-9x = 12 \iff x = 12 $
Ответ: x = 12
Пример 3. Решите уравнение 8(x+7)-7(2x-3) = 2(5x-11)
Решение:
$ 8(x+7)-7(2x-3) = 2(5x-11) \iff 8x+56-14x+21 = 10x-22 \iff$
$ \iff -6x+77 = 10x-22 \iff -6x-10x = -22-77 \iff -16x=-99 \iff $
$ \iff x = \frac{-99}{-16} = 6\frac{3}{16}$
Ответ: x = $6\frac{3}{16}$
Пример 4. Найдите все значения коэффициента a, при которых корень уравнения ax=-6– целое число.
Решение:
$$ax = -6 \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a ≠ 0 \\ x=- \frac{6}{a} \end{array} \right.}$$
x будет целым при a = $\pm$6, $\pm$3, $\pm$2,$\pm$1
Ответ: a = $\pm$6, $\pm$3, $\pm$2, $\pm$1
Пример 5*. Решите уравнение $ ax = a^2 -3a $
Решение:
$$ ax = a^2-3a \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a≠0 \\ x = \frac{(a^2-3a)}{a} = \frac{a(a-3)}{a} = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a≠0 \\ x = a-3 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = 0 \\ x \in \Bbb R \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
Ответ: при a ≠ 0,x = a-3; при a = 0, $x \in \Bbb R$ - любой
Пример 6*. Решите уравнение (k+1)x = k
Решение:
$$ (k+1)x = k \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k+1 ≠ 0 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k+1 = 0 \\ 0x = -1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} k ≠ -1 \\ x = \frac{k}{k+1} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} k = -1 \\ x \in \Bbb \varnothing - решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
Ответ: при k ≠ -1, $ x = \frac{k}{k+1} $, при k = -1 решений нет
Пример 7*. Решите уравнение ax+b = cx+d
Решение:
$$ ax+b = cx+d \iff ax-cx = d-b \iff (a-c)x = d-b \iff $$
$$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a-c ≠ 0 \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b = 0 \\ 0x = 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a-c = 0 \\ d-b ≠ 0 \\ 0x ≠ 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a ≠ c \\ x = \frac{d-b}{a-c} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d = b \\ x \in \Bbb R - любой \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a = c \\ d ≠ b \\ x \in \Bbb \varnothing - решений \quad нет \end{array} \right.} \end{array} \right. $$
