Линейное уравнение с двумя переменными и его график

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c - свободным членом.

Действительно:

$$ ax+by = c \iff y = - \frac{a}{b} x+ \frac{c}{b} $$

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

$$ k = -\frac{a}{b} , \tilde b = \frac{c}{b}$$

Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

${\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = \frac{c}{b}\end{array} \right.}, {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{c}{a} \\ y = 0\end{array} \right.}$

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$a = 0,b \neq 0$

$a \neq 0, b = 0$

$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

a = 0, b = 0, c = 0

a = 0, b = 0, $c \neq 0$

0x+0y = 0

x, $y \in \Bbb R$ - любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

0x+0y = 5

Решений нет.

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Примеры

Пример 1. Постройте график линейного уравнения по двум точкам пересечения с осями.

а) 2x-y = 6

x

0

3

y

-6

0

б) 1,5x+y = 3

x

0

2

y

3

0

в) x+y = -2

x

0

-2

y

-2

0

г) x-3y = 6

x

0

6

y

-2

0

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости графики, найдите точку пересечения:

а) x+2y = 4 и x-2y = 4

x

0

4

y

2

0

x

0

4

y

-2

0

Точка пересечения (4;0)

б) x+y = 4 и x-y = -1

x

0

4

y

4

0

x

0

-1

y

1

0

Точка пересечения (1,5;2,5)