Линейная функция y = kx+b и её график
Определение линейной функции
Рассмотрим движение машины по прямой со скоростью 50 км/ч, но не из начальной точки. Допустим, что мы уже находимся на расстоянии 20 км от начала координат и будем удаляться. Тогда зависимость расстояния до начала координат от времени s = 50t+20. От прямой пропорциональности s = 50t эту формулу отличает дополнительное слагаемое, связанное с ненулевыми начальными условиями.
Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:
$${\left\{ \begin{array}{c}- \infty \lt x \lt + \infty - аргумент, \quadлюбое \quad действительное \quad число \\ k = const \quad - параметр, \quad константа \\ b = const \quad - параметр, \quad константа \\ y = kx+b \quad - функция\end{array} \right.}$$
Функция такого вида называется линейной.
Прямая пропорциональность y = kx является частным случаем линейной функции y = kx+b, при k $\neq$ 0 и b = 0.
График линейной функции
Графиком линейной функции является прямая.
Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:
Алгоритм построения графика линейной функции
- Выбрать два произвольных значения аргумента $x_1, x_2$
- Вычислить соответствующие значения функции $y_1 = kx_1+b, y_2 = kx_2+b$
- Отметить на координатной плоскости точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
- Провести прямую через точки $(x_1,y_1 )$ и $(x_2,y_2 )$
Эта прямая – график линейной функции y = kx+b.
Например: построим график функции y = 2x+1
x
0
1
y
1
3
$k = 2 \gt 0$ – функция возрастает
b=1 – функция пресекает ось Y в точке (0;1)
Примеры
Пример 1.Постройте графики линейных функций. Укажите, возрастает или убывает функция. Найдите точку её пересечения с осью Y.
x
-2
0
y
0
2
$k = 1 \gt 0$ – функция возрастает
b = 2 точка пересечения с осью Y (0;2)
x
0
1
y
-1
0
$k = 1 \gt 0$ – функция возрастает
b = -1 точка пересечения с осью Y (0;-1)
x
-6
0
y
0
3
$k = \frac{1}{2} \gt 0$ – функция возрастает
b = 3 точка пересечения с осью Y (0;3)
x
0
-1
y
-1
0
$k = -1 \lt 0$ – функция убывает
b = -1 точка пересечения с осью Y (0;-1)
x
0
1,5
y
3
0
$k = -2 \lt 0$ – функция убывает
b = 3 точка пересечения с осью Y (0;3)
x
0
3
y
1
0
$k = -\frac{1}{3} \lt 0$ – функция убывает
b = 1 точка пересечения с осью Y (0;1)
x
0
1
y
1
1
Прямая, параллельная оси Х и проходящая через точку (0;1)
k = 0 функция постоянна
b = 1 точка пересечения с осью Y (0;1)
x
0
1
y
-5
-5
Прямая, параллельная оси Х и проходящая через точку (0;-5)
k = 0 функция постоянна
b = -5 точка пересечения с осью Y (0;-5)
Пример 2.График линейной функции y=kx-3 проходит через точку A(-1;0,5). Найдите k.
Подставляем в формулу функции координаты точки A:
$0,5 = k \cdot (-1)-3$
k=-0,5-3=-3,5
Ответ:-3,5
Пример 3*.Найдите уравнение прямой, проходящей через точки A(2;4)и B(-1;1)
Угловой коэффициент:
$$k = \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} = \frac{-1-2}{1-4} = 1$$
Уравнение имеет вид y = x+b.
Подставляем координаты A:
$$4 = 2+b \Rightarrow b = 2 $$
Искомое уравнение: y = x+2
