Квадрат суммы и разности нескольких выражений

Формула квадрата суммы трёх выражений

Возьмём сумму a+b+c и возведём её в квадрат:

$$ (a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c)+b(a+b+c)+ $$

$$ +c(a+b+c) = a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2 = $$

$$= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$

Мы получили формулу квадрата суммы трёх выражений:

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

Геометрическое объяснение

Рассмотрим квадрат со стороной a+b+c. Для его площади можем записать:

$(a+b+c)^2 =$

$= a^2+b^2+c^2+2ab+2(a+b)c =$

$= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Формула квадрата суммы четырёх выражений

Возьмём сумму a+b+c+d и возведём её в квадрат:

$$(a+b+c+d)^2 = (a+b+c+d)(a+b+c+d) = a(a+b+c+d)+$$

$$ b(a+b+c+d)+c(a+b+c+d)+d(a+b+c+d) = $$

$$ = a^2+ab+ac+ad+ab+b^2+bc+bd+ac+bc+c^2+cd+ $$

$$ +ad+bd+cd+d^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd $$

Мы получили формулу квадрата суммы четырёх выражений:

$$ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$$

Формула квадрата суммы нескольких выражений

После того, как мы получили формулу для $(a+b+c)^2$ и $(a+b+c+d)^2$, мы можем дать общую формулировку для любого количества выражений:

Запишем это правило:

$$ (a_1+a_2+a_3+⋯+a_n )^2 = a_1^2+a_2^2+a_3^2…+a_n^2+ $$

$$ +2a_1 (a_2+a_3+⋯+a_n )+2a_2 (a_3+⋯+a_n )+⋯+2a_{n-1} a_n $$

Эта формула справедлива для всех натуральных $n\ge2$.

Формула квадрата разности нескольких выражений

Формулы квадратов сумм можно использовать и для разностей.

Например:

$$ (x-2y+z)^2 = (x+(-2y)+z)^2 = x^2+(-2y)^2+z^2+ $$

$$ +2x\cdot(-2y)+2xz+2\cdot(-2y)z = x^2+4y^2+z^2-4xy+2xz-4yz $$

Или:

$$(x-2y-z)^2 = (x+(-2y)+(-z) )^2 = x^2+(-2y)^2+(-z)^2+$$

$$ +2x\cdot(-2y)+2x(-z)+2\cdot(-2y)(-z) = x^2+4y^2+z^2-4xy-2xz+4yz$$

И т.д.

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена:

а) $ (2x+3y+4z)^2 = (2x)^2+(3y)^2+(4z)^2+2\cdot2x\cdot3y+2\cdot2x\cdot4z+2\cdot3y\cdot4z =$

$= 4x^2+9y^2+16z^2+12xy+16xz+24yz $

б) $(a-4b+5)^2 = a^2+(-4b)^2+5^2+2a\cdot(-4b)+2a\cdot5+2\cdot(-4b)\cdot5 =$

$= a^2+16b^2+25-8ab+10a-40b $

в) $(2p+ \frac{1}{2}q+1)^2 = 4p^2+ \frac{q^2}{4}+1+2\cdot2p\cdot \frac{1}{2} q+2\cdot2p\cdot1+2\cdot \frac{1}{2} q\cdot1 =$

$= 4p^2+\frac{q^2}{4}+1+2pq+4p+q$

г) $(3m-\frac{1}{3} k+n)^2 = 9m^2+\frac{k^2}{9}+n^2+2\cdot3m\cdot(-\frac{k}{3})+2\cdot3mn+2\cdot(-\frac{k}{3})\cdot n =$

$= 9m^2+\frac{k^2}{9}+n^2-2km+6mn- \frac{2}{3} kn $

Пример 2. Представьте в виде многочлена:

а) $(m+2n+3p+5)^2 = m^2+4n^2+9p^2+25+2m\cdot2n+2m\cdot3p+2m\cdot5+ $

$+4n\cdot3p+4n\cdot5+6p\cdot5 = m^2+4n^2+9p^2+25+4mn+6mp+10m+ $

$+12pn+20n+30p$

б) $(\frac{1}{2} k-5+2c+d^2 )^2 = \frac{1}{4} k^2+25+4c^2+d^4+k\cdot(-5)+k\cdot2c+k\cdot d^2-$

$-10\cdot2c-10\cdot d^2+4c\cdot d^2 = $

$= \frac{1}{4} k^2+25+4c^2+d^4-5k+2ck+kd^2-20c-10d^2+4cd^2$

Пример 3. Упростите выражение:

а) $(2a+b-8)^2-(2a-b+8)^2 =$

$((2a+b-8)-(2a-b+8) )((2a+b-8)+(2a-b+8) ) = $

$= (2b-16)\cdot4a = 8ab-64a$

б) $(2a+b-8)^2+(2a-b+8)^2 = 4a^2+b^2+64+4ab-32a-16b+$

$+4a^2+b^2+64-4ab+32a-16b = 8a^2+2b^2+128-32b $