Квадрат суммы и разности двух выражений
Формула квадрата суммы
Возведем в квадрат сумму (a+b):
$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:
$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2\cdot5x^2\cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.
Формула квадрата разности
Теперь возведём в квадрат разность:
$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:
$$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b \lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.
Внимание!
Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Неправильно: $(a+b)^2$ ≠ $a^2+b^2 или (a-b)^2 $≠$ a^2-b^2$
Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+$ b^2$
Примеры
Пример 1. Найдите квадрат суммы:
а) $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
б) $(3+t)^2 = 3^2+2\cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$
в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2\cdot3a\cdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$
г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2\cdot4k^2 m\cdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$
Пример 2. Найдите квадрат разности:
а) $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$
б) $(x-5)^2 = x^2-2x\cdot5+5^2 = x^2-10x+25$
в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2\cdot7y\cdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$
г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2\cdot3km^2\cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$
Пример 3. Выполните действия:
а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2\cdot10m\cdot1+1+20m =$
$= 100m^2-20m+1+20m = 100m^2+1 $
б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2\cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $
в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2\cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$
г) $ \frac{1}{3} (3y+4)^2-8y = \frac{1}{3} ((3y)^2+2\cdot3y\cdot4+4^2 )-8y = \frac{1}{3} (9y^2+24y+16)-8y =$
$=3y^2+8y+\frac{16}{3}-8y=3y^2+5 \frac{1}{3}$
Пример 4. Решите уравнение:
а) $(7-x)^2-(x+8)^2 = 45$
$49-14x+x^2-(x^2+16x+64) = 45 $
49-14x-16x-64 = 45
-30x = 45-49+64
-30x = 60
x = -2
б) $(2x-15)^2-x(4x+3) = 153$
$(2x)^2-2\cdot2x\cdot15+15^2-4x^2-12x = 153 $
-60x+225-12x = 153
-72x = 153-225
-72x = -72
x = 1
