Исследование и решение системы двух линейных уравнений методом Крамера
Квадратная матрица 2-го порядка и её определитель
Квадратной матрицей 2-го порядка A называется таблица из 4-х чисел вида: $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} $$
В квадратной матрице 2-го порядка две строки и два столбца.
Например: $ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2,5 & 3 \\ \end{vmatrix} $
Определителем матрицы 2-го порядка называется число:
$$ A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad-bc $$
Например: $\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2,5 & 3 \\ \end{vmatrix} = 1\cdot3-2,5\cdot(-4) = 3+10 = 13$
Метод Крамера для решения системы 2-х линейных уравнений
Дана система 2-х линейных уравнений:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2 \end{array} \right.} $$
Определим главный определитель системы:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 b_2-a_2 b_1 $$
и вспомогательные определители:
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = c_1 b_2-c_2 b_1, \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 c_2-a_2 c_1 $$
Тогда решение системы:
$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \end{array} \right.} $$
Соотношение коэффициентов уравнений, значений определителей, расположения прямых и количества решений:
Прямые пересекаются
Прямые параллельны
Прямые совпадают
Одно решение
Нет решений
Бесконечное множество решений
Внимание!
Метод Крамера используется в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений произвольного порядка $N \ge 2$.
Главный определитель, вспомогательные определители и решения таких систем находятся аналогично.
Поэтому для метода Крамера несложно составить алгоритм и запрограммировать для решения прикладных задач.
Метод Крамера для N=3 (три уравнения, три переменных) рассмотрен в §49 данного справочника.
Алгоритм исследования системы 2-х линейных уравнений по методу Крамера
Примеры
Пример 1. Решите систему уравнений методом Крамера:
$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} $
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 2 & -3 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot(-3)-2\cdot(-4) = -15+8 =-7 $$
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -3 \\ \end{vmatrix} = 3\cdot(-3)-4\cdot(-4) = -9+16 = 7 $$
$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot4-2\cdot3 = 20-6 = 14 $$
$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{7}{-7} = -1, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{14}{-7} = -2 $$
Ответ: (-1;-2)
$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ 3x-4y = 0 \end{array} \right.} $
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot(-4)-3\cdot(-3) = -16+9 = -7 $$
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 0 & -4 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot(-4)-0\cdot(-3) = -28 $$
$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 0 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot0-3\cdot7 = -21 $$
$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-28}{-7} = 4, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-21}{-7} = 3 $$
Ответ: (4;3)
$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ 2a+3b = -1 \end{array} \right.} $
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot3-2\cdot(-4) = 15+8 = 23 $$
$$ \Delta_a = \begin{vmatrix} 9 & -4 \\ -1 & -3 \\ \end{vmatrix} = 9\cdot3-(-1)\cdot(-4) = 27-4 = 23 $$
$$ \Delta_b = \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot(-1)-2\cdot9 = -5-18 = -23 $$
$$ a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{23}{23} = 1, b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-23}{23} = -1 $$
Ответ: (1;-1)
$ r) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 \end{array} \right.} $
$$ \Delta = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot2-3\cdot4 = 14-12 = 2 $$
$$ \Delta_a = \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot2-1\cdot4 = 10-4 = 6 $$
$$ \Delta_b = \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot1-3\cdot5 = 7-15 = -8 $$
$$ a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{6}{2} = 3, b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-8}{2} = -4 $$
Ответ: (3;-4)
Пример 2*. При каком значении параметра a система уравнений 1) имеет одно решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечное множество решений?
$${\left\{ \begin{array}{c} ax+5y = (a+5)^2 \\ 5x+ay = a+5 \end{array} \right.} $$
Главный определитель:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a & 5 \\ 5 & a \\ \end{vmatrix} = a \cdot a-5\cdot 5 = a^2-25 = (a-5)(a+5) $$
Вспомогательные определители:
$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} (a+5)^2 & 5 \\ a+5 & a \\ \end{vmatrix} = (a+5)^2 \cdot a-5\cdot (a+5) = (a+5)(a(a+5)-5) = $$
$$= (a+5)(a^2+5a-5) $$
$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} a & (a+5)^2 \\ 5 & a+5 \\ \end{vmatrix} = a \cdot (a+5)-5 \cdot (a+5)^2 = (a+5)(a-5(a+5) ) = $$
$$ = -(a+5)(4a+25) $$
Решение:
$${\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(a+5)(a^2+5a-5)}{(a-5)(a+5)} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = - \frac{(a+5)(4a+25)}{(a-5)(a+5)} \end{array} \right.} $$
При a = 5:
$$ \Delta = 0, \Delta_x = 10\cdot45 = 450 \neq 0, \Delta_y = -10\cdot45 = -450 \neq 0 $$
прямые параллельны, решений нет.
При a = -5:
$$ \Delta = 0, \Delta_x = 0, \Delta_y = 0$$
прямые совпадают, решений бесконечное множество.
При $a \neq \pm5$ система имеет одно решение: ${\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{a^2+5a-5}{a-5} \\ y = \frac{4a+25}{a-5} \end{array} \right.} $
Ответ: 1) $a \neq \pm5$; 2) a = 5; 3) a = -5
