Графический метод решения системы линейных уравнений
Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений
Рассмотрим систему двух уравнений: $ {\left\{ \begin{array}{c} 3x-y = 5 \\ 3x+2y = 8\end{array} \right.}$
Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.
Точка пересечения (2;1)
Подставим координаты точки пересечения в уравнение:
$ {\left\{ \begin{array}{c}3 \cdot 2-1 ≡ 5\\ 3\cdot2+2\cdot1 ≡ 8\end{array} \right.} \Rightarrow$ (2;1) - решение системы
Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.
Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:
Прямые пересекаются
Прямые параллельны
Прямые совпадают
Одно решение
Нет решений
Бесконечное множество решений
Алгоритм графического метода решения системы линейных уравнений
1. Построить графики уравнений системы в одной координатной плоскости.
2а. Если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ найти точку пересечения – единственное решение системы.
2б. Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ прямые параллельны и решений нет.
2в. Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ прямые совпадают, решений бесконечное множество.
Примеры
Пример 1. Решите графически систему уравнений. Сколько решений вы получили в зависимости от соотношения коэффициентов?
а)$ {\left\{ \begin{array}{c} 5x+2y = 3 \\ x-y = 4\end{array} \right.}$
Точка пересечения (1;-1)
Одно решение: $ \frac{5}{1} \neq \frac{2}{-1}$
б) $ {\left\{ \begin{array}{c}2x+y = 3 \\ 4x+2y = 1\end{array} \right.}$
Прямые параллельны, решений нет:
$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{1}$
в) $ {\left\{ \begin{array}{c}4x-y = 2 \\ x+y = 3\end{array} \right.}$
Точка пересечения (1;2)
Одно решение: $ \frac{4}{1} \neq \frac{-1}{1}$
г) $ {\left\{ \begin{array}{c}2x-3y = 5 \\ 4x-6y = 10\end{array} \right.}$
Прямые совпадают, бесконечное множество решений:
$ \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{5}{10} $
Пример 2*. Решите графически систему уравнений:
а)$ {\left\{ \begin{array}{c} |x|-y = 0 \\ x+3y = 4\end{array} \right.}$
В первом уравнении y всегда положительный: $y \ge 0,∀x$
$ {\left\{ \begin{array}{c}y(x) = |x| = {\left\{ \begin{array}{c} x, x \ge 0 \\ -x, x \lt 0 \end{array} \right.} \\ x+3y = 4 \end{array} \right.} $
Два решения: (-2;2) и (1;1)
б)$ {\left\{ \begin{array}{c} x-|y| = 0 \\ 3x+y = 4\end{array} \right.}$
В первом уравнении x всегда положительный: $x \ge 0,∀x$
$ {\left\{ \begin{array}{c}y(x) = |y| = {\left\{ \begin{array}{c} y, y \ge 0 \\ -y, y \lt 0 \end{array} \right.} \\ 3x+y = 4 \end{array} \right.} $
Два решения: (2;-2) и (1;1)
в)$ {\left\{ \begin{array}{c} x^2-4y^2 = 0 \\ 3|x|-2y = 8\end{array} \right.}$
$ {\left\{ \begin{array}{c} (x-2y)(x+2y) = 0 \\ y = 1,5|x|-4\end{array} \right.}$
$ {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} y = \frac{1}{2} x \\ y = -\frac{1}{2} x \end{array} \right. \\ y = {\left\{ \begin{array}{c} 1,5x-4,x \ge 0 \\ -1,5x-4,x \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right.} $
Из первого уравнения получаем две прямых, из второго – ломаную.
Четыре решения:
(-4;2);(-2;-1);(2;-1);(4;2)
г)$ {\left\{ \begin{array}{c}|y-x| = 4 \\ |x+y| = 2\end{array} \right.}$
$ {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} y-x = 4 \\ y-x = -4 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} x+y = 2 \\ x+y = -2 \end{array} \right. \end{array} \right.}$
$ {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} y = x+4 \\ y = x-4 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} y = -x+2 \\ y = -x-2 \end{array} \right. \end{array} \right.}$
Из первого уравнения получаем одну пару параллельных прямых, из второго уравнения – вторую пару параллельных прямых.
Четыре решения:
(-3;1);(-1;3);(3;-1);(1;-3)
