Графический метод решения системы линейных уравнений

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений: $ {\left\{ \begin{array}{c} 3x-y = 5 \\ 3x+2y = 8\end{array} \right.}$

Построим график каждого из уравнений и найдём точку пересечения.

x
0
2
y
-5
1

x
0
2
y
4
1

Точка пересечения (2;1)

Расположение графиков и количество решений системы линейных уравнений

Подставим координаты точки пересечения в уравнение:

$ {\left\{ \begin{array}{c}3 \cdot 2-1 ≡ 5\\ 3\cdot2+2\cdot1 ≡ 8\end{array} \right.} \Rightarrow$ (2;1) - решение системы

Таким образом, точка пересечения графиков уравнений является решением системы.

Графики двух уравнений системы могут пересекаться, быть параллельными и совпадать. Получаем разное количество решений системы в зависимости от соотношения коэффициентов уравнений:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $
$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Прямые пересекаются

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Прямые совпадают

Одно решение

Нет решений

Бесконечное множество решений

Алгоритм графического метода решения системы линейных уравнений

1. Построить графики уравнений системы в одной координатной плоскости.

2а. Если $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ найти точку пересечения – единственное решение системы.

2б. Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ прямые параллельны и решений нет.

2в. Если $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ прямые совпадают, решений бесконечное множество.

Примеры

Пример 1. Решите графически систему уравнений. Сколько решений вы получили в зависимости от соотношения коэффициентов?

а)$ {\left\{ \begin{array}{c} 5x+2y = 3 \\ x-y = 4\end{array} \right.}$

x
0
1
y
1,5
-1

x
0
2
y
-2
0

Точка пересечения (1;-1)

Одно решение: $ \frac{5}{1} \neq \frac{2}{-1}$

Пример 1.a

б) $ {\left\{ \begin{array}{c}2x+y = 3 \\ 4x+2y = 1\end{array} \right.}$

x
0
1,5
y
3
0

x
0
0,25
y
0,5
0

Прямые параллельны, решений нет:

$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{1}$

Пример 1.в

в) $ {\left\{ \begin{array}{c}4x-y = 2 \\ x+y = 3\end{array} \right.}$

x
0
0,5
y
-2
0

x
0
3
y
3
0

Точка пересечения (1;2)

Одно решение: $ \frac{4}{1} \neq \frac{-1}{1}$

Пример 1.в

г) $ {\left\{ \begin{array}{c}2x-3y = 5 \\ 4x-6y = 10\end{array} \right.}$

x
0
2,5
y
-1,5
0

x
0
2,5
y
-1,5
0

Прямые совпадают, бесконечное множество решений:

$ \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{5}{10} $

Пример 1.г

Пример 2*. Решите графически систему уравнений:

а)$ {\left\{ \begin{array}{c} |x|-y = 0 \\ x+3y = 4\end{array} \right.}$

В первом уравнении y всегда положительный: $y \ge 0,∀x$

$ {\left\{ \begin{array}{c}y(x) = |x| = {\left\{ \begin{array}{c} x, x \ge 0 \\ -x, x \lt 0 \end{array} \right.} \\ x+3y = 4 \end{array} \right.} $

x
1
0
-1
y
1
0
1

x
1
4
y
1
0

Два решения: (-2;2) и (1;1)

Пример 2.a

б)$ {\left\{ \begin{array}{c} x-|y| = 0 \\ 3x+y = 4\end{array} \right.}$

В первом уравнении x всегда положительный: $x \ge 0,∀x$

$ {\left\{ \begin{array}{c}y(x) = |y| = {\left\{ \begin{array}{c} y, y \ge 0 \\ -y, y \lt 0 \end{array} \right.} \\ 3x+y = 4 \end{array} \right.} $

y
1
0
-1
x
1
0
1

x
1
0
y
1
4

Два решения: (2;-2) и (1;1)

Пример 2.б

в)$ {\left\{ \begin{array}{c} x^2-4y^2 = 0 \\ 3|x|-2y = 8\end{array} \right.}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} (x-2y)(x+2y) = 0 \\ y = 1,5|x|-4\end{array} \right.}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} y = \frac{1}{2} x \\ y = -\frac{1}{2} x \end{array} \right. \\ y = {\left\{ \begin{array}{c} 1,5x-4,x \ge 0 \\ -1,5x-4,x \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right.} $

Из первого уравнения получаем две прямых, из второго – ломаную.

Четыре решения:

(-4;2);(-2;-1);(2;-1);(4;2)

Пример 2.в

г)$ {\left\{ \begin{array}{c}|y-x| = 4 \\ |x+y| = 2\end{array} \right.}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} y-x = 4 \\ y-x = -4 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} x+y = 2 \\ x+y = -2 \end{array} \right. \end{array} \right.}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} y = x+4 \\ y = x-4 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} y = -x+2 \\ y = -x-2 \end{array} \right. \end{array} \right.}$

Из первого уравнения получаем одну пару параллельных прямых, из второго уравнения – вторую пару параллельных прямых.

Четыре решения:

(-3;1);(-1;3);(3;-1);(1;-3)

Пример 2.в
Регистрация
Войти с помощью
Необходимо принять пользовательское соглашение
Войти
Войти с помощью
Восстановление пароля
Пожаловаться
Задать вопрос