Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения
п.1. Базовые формулы тригонометрии
Основное тригонометрическое тождество и его следствия \begin{gather*} sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\ sin\alpha=\pm\sqrt{1-cos^2\alpha},\ \ cos\alpha=\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}\\ 1+tg^2\alpha=\frac{1}{cos^2\alpha},\ \ 1+ctg^2\alpha=\frac{1}{sin^2\alpha} \end{gather*}
Определение тангенса и котангенса и его следствие \begin{gather*} tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha},\ \ ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\ tg\alpha\cdot ctg\alpha=1 \end{gather*}
Например:
Известно, что \(\frac\pi2\lt\alpha\lt\pi,\ sin\alpha=0,8\)
Найдем остальные значения тригонометрические функций от угла \(\alpha\).
Угол находится во 2-й четверти. Значит, косинус отрицательный:
\(cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0,8^2}=-\sqrt{0,36}=-0,6\)
Тангенс: \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{0,8}{-0,6}=-\frac43\)
Котангенс: \(ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}=-\frac34\)
п.2. Формулы приведения
|
Угол π/2 - α |
 |
Рассмотрим числовую окружность. O(0;0), A(1;0) Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac\pi2-\alpha\) Построим перпендикуляры: \begin{gather*} BE\perp OA,\ E\in OA\\ CF\perp OA,\ F\in OA \end{gather*} Рассмотрим \(\Delta OBE\ \text{и}\ \Delta COF\): \begin{gather*} \begin{cases} \angle BEO=\angle CFO=90^{\circ}\\ \angle OBE=\frac\pi2-\alpha=\angle COF\\ OB=OS=R=1 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \text{(по острому углу и гипотенузе)}\\ \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin{cases} BE=OF\\ OE=CF \end{cases} \end{gather*} |
По определению синуса и косинуса на числовой окружности (см. §2 данного справочника) $$ BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha,\ \ OF=cos\left(\frac\pi2-\alpha\right),\ \ CF=sin\left(\frac\pi2-\alpha\right) $$ Получаем: \begin{gather*} cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)=sin\alpha,\ \ sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)=cos\alpha \end{gather*} Откуда следует: \begin{gather*} tg\left(\frac\pi2-\alpha\right)=ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac\pi2-\alpha\right)=tg\alpha \end{gather*} Например:
cos72°=sin18°; tg37°=ctg53°; sin36°=cos54°.
|
Угол π/2 + α |
 |
Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac\pi2+\alpha\) По аналогии с предыдущим случаем получаем: \begin{gather*} \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin{cases} BE=OF\\ OE=CF \end{cases} \end{gather*} Учитывая знаки (а длины сторон всегда положительны): \begin{gather*} BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ OF=-cos\left(\frac\pi2+\alpha\right),\ \ CF=sin\left(\frac\pi2+\alpha\right) \end{gather*} |
Получаем: \begin{gather*} cos\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-sin\alpha,\ \ sin\left(\frac\pi2+\alpha\right)=cos\alpha \end{gather*} Откуда следует: \begin{gather*} tg\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac\pi2+\alpha\right)=-tg\alpha \end{gather*} Например:
cos114°=-sin24°; sin150°=cos60°; tg96°=-ctg6°.
|
Угол π - α |
 |
Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\pi-\alpha\) Тогда \begin{gather*} \Delta OBE=\Delta OCF\Rightarrow \begin{cases} BE=CF\\ OE=OF \end{cases} \end{gather*} \begin{gather*} BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ CF=sin(\pi-\alpha),\ \ OF=-cos(\pi-\alpha) \end{gather*} |
\begin{gather*} sin(\pi-\alpha)=sin\alpha,\ \ cos(\pi-\alpha)=-cos\alpha \end{gather*} \begin{gather*} tg(\pi-\alpha)=-tg\alpha,\ \ ctg(\pi-\alpha)=-ctg\alpha \end{gather*} Например:
sin116°=sin64°; cos105°=-cos75°; tg120°=-tg60°.
|
Угол π + α |
 |
Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\pi+\alpha\) Тогда \begin{gather*} \Delta OBE=\Delta OCF\Rightarrow \begin{cases} BE=CF\\ OE=OF \end{cases} \end{gather*} \begin{gather*} BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ CF=-sin(\pi+\alpha),\ \ OF=-cos(\pi+\alpha) \end{gather*} |
\begin{gather*} sin(\pi+\alpha)=-sin\alpha,\ \ cos(\pi+\alpha)=-cos\alpha \end{gather*} \begin{gather*} tg(\pi+\alpha)=tg\alpha,\ \ ctg(\pi+\alpha)=ctg\alpha \end{gather*} Например:
sin220°=-sin40°; cos230°=-cos50°; \(tg\frac{7\pi}{6}=tg\frac\pi6\).
|
Угол 3π/2 - α |
 |
Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac{3\pi}{2}-\alpha\) Тогда \begin{gather*} \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin{cases} BE=OF\\ OE=CF \end{cases} \end{gather*} \begin{gather*} BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ OF=-cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right),\ \ CF=-sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) \end{gather*} |
\begin{gather*} sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-cos\alpha,\ \ cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-sin\alpha \end{gather*} \begin{gather*} tg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=tg\alpha \end{gather*} Например:
sin250°=-cos20°; cos215°=-sin55°; \(tg\frac{9\pi}{8}=ctg\frac{3\pi}{8}\).
|
Угол 3π/2 + α |
 |
Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\frac{3\pi}{2}+\alpha\) Тогда \begin{gather*} \Delta OBE=\Delta COF\Rightarrow \begin{cases} BE=OF\\ OE=CF \end{cases} \end{gather*} \begin{gather*} BE=sin\alpha,\ \ OE=cos\alpha\\ OF=cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right),\ \ CF=-sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \end{gather*} |
\begin{gather*} sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-cos\alpha,\ \ cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=sin\alpha \end{gather*} \begin{gather*} tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-ctg\alpha,\ \ ctg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-tg\alpha \end{gather*} Например:
sin310°=-cos40°; cos345°=sin15°; ctg307°=-tg37°.
Сводная таблица формул приведения
| x | π/2 - α | π/2 + α | π - α | π/2 + α | 3π/2 - α | 3π/2 + α |
| sinx | cosα | cosα | sinα | -sinα | -cosα | -cosα |
| cosx | sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | sinα |
| tgx | ctgα | -ctgα | -tgα | tgα | ctgα | -ctgα |
| ctgx | tgα | -tgα | -ctgα | ctgα | tgα | -tgα |
п.3. Примеры
Пример 1. Упростите выражение:
a) $$ 1-cos^2\alpha+tg^2\alpha cos^2\alpha=(1-cos^2\alpha)+\left(\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\right)^2 cos^2\alpha=sin^2\alpha+sin^2\alpha=2sin^2\alpha $$
б) \begin{gather*} \frac{cos\alpha}{1+sin\alpha}+tg\alpha=\frac{cos\alpha(1-sin\alpha)}{(1+sin\alpha)(1-sin\alpha)}+tg\alpha=\frac{cos\alpha(1-sin\alpha)}{1-sin^2\alpha}+tg\alpha=\\ =\frac{cos\alpha(1-sin\alpha)}{cos^2\alpha}+tg\alpha=\frac{1-sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{1-sin\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{1}{cos\alpha} \end{gather*}
в) \begin{gather*} \frac{1+tg\alpha+tg^2\alpha}{1+ctg\alpha+ctg^2\alpha}=\frac{1+tg\alpha+tg^2\alpha}{1+ctg\alpha+ctg^2\alpha}\cdot\frac{tg^2\alpha}{tg^2\alpha}=\\ =\frac{tg^2\alpha(1+tg\alpha+tg^2\alpha)}{tg^2\alpha+tg\alpha\cdot \underbrace{(ctg\alpha\cdot tg\alpha)}_{-1}+\underbrace{(ctg\alpha\cdot tg\alpha)^2}_{=1}}=\frac{tg^2\alpha(1+tg\alpha+tg^2\alpha)}{tg^2\alpha+tg\alpha+1}=tg^2\alpha \end{gather*}
г*) \(\sqrt{\frac{2}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{2}{1-sin\alpha}}\)
Обозначим \(A=\sqrt{\frac{2}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{2}{1-sin\alpha}}\gt 0\)
Тогда: \begin{gather*} A^2=\left(\sqrt{\frac{2}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{2}{1-sin\alpha}}\right)^2=\frac{2}{1+sin\alpha}+2\sqrt{\frac{2}{1+sin\alpha}\cdot \frac{2}{1-sin\alpha}}=\frac{2}{1-sin\alpha}=\\ =2\left(\frac{1}{1+sin\alpha}+\frac{1}{1-sin\alpha}+\frac{2}{\sqrt{1-sin\alpha}}\right)=2\left(\frac{1-sin\alpha+1+sin\alpha}{1-sin^2\alpha}+\frac{2}{cos\alpha}\right)=\\ =2\left(\frac{2}{cos^2\alpha}+\frac{2}{cos\alpha}\right)=\frac{4(1+cos\alpha)}{cos^2\alpha}\\ A=\sqrt{\frac{4(1+cos\alpha)}{cos^2\alpha}}=\frac{2\sqrt{1+cos\alpha}}{cos\alpha} \end{gather*} Ответ: \(\frac{2\sqrt{1+cos\alpha}}{cos\alpha}\)
Пример 2.Вычислите:
a) \(tg135^{\circ}cos^{\circ}ctg150^{\circ}sin300^{\circ}=\) \begin{gather*} =tg(180^{\circ}-45^{\circ})\cdot cos(180^{\circ}+60^{\circ})\cdot ctg(180^{\circ}-30^{\circ})\cdot sin(360^{\circ}-60^{\circ})=\\ =tg(-45^{\circ})\cdot(-cos60^{\circ})\cdot ctg(-30^{\circ})\cdot sin(-60^{\circ})=-1\cdot\left(-\frac12\right)\cdot (-\sqrt{3})\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac34 \end{gather*}
б) \(tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)tg(5\pi-\alpha)+sin(\alpha-2\pi)\cdot cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+cos^2\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\)
\(=-ctg\alpha\cdot tg(-\alpha)+sin\alpha\cdot(-sin\alpha)+sin^2\alpha=1-sin^2\alpha+sin^2\alpha=1\)
Пример 3. Найдите:
a) \(\frac{2sin\alpha-5cos\alpha}{cos\alpha+2sin\alpha}\), если \(tg\alpha=\frac25\)
Делим каждое слагаемое числителя и знаменателя на косинус и подставляем тангенс: $$ \frac{2sin\alpha-5cos\alpha}{cos\alpha+2sin\alpha}=\frac{\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}-\frac{5cos\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos\alpha}{cos\alpha}+\frac{2sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{2tg\alpha-5}{1+2tg\alpha}=\frac{2\cdot\frac25-5}{1+2\cdot\frac25}=\frac{-4,2}{1,8}=-\frac{7}{3}=-2\frac13 $$ Ответ: \(-2\frac13\)
б) \(sin\alpha+cos\alpha\), если \(sin\alpha cos\alpha=\frac13\)
Пусть \(A=sin\alpha+cos\alpha\). Тогда \begin{gather*} A^2=(sin\alpha+cos\alpha)^2=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha+cos^2\alpha=\\ =(sin^2\alpha+cos^2\alpha)+2sin\alpha cos\alpha=1+2sin\alpha cos\alpha=1+2\cdot\frac13=\frac53 \end{gather*} Произведение по условию положительно. Значит, угол \(\alpha\) может находиться
- в 1-й четверти (\(sin\alpha\gt 0\ \text{и}\ cos\alpha\gt 0\)), и тогда \(A\gt 0\)
- в 2-й четверти (\(sin\alpha\lt 0\ \text{и}\ cos\alpha\lt 0\)), и тогда \(A\lt 0\)
Получаем: \(A=\pm\sqrt{\frac53}=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\)
Ответ: \(\pm\frac{\sqrt{15}}{3}\)
Пример 4*. Вычислите:
\(a)\ tg1^{\circ}tg3^{\circ}tg5^{\circ}...tg89^{\circ} \)
Для угла \(90^{\circ}-\alpha\): $$ tg89^{\circ}=ctg(90^{\circ}-89^{\circ})=ctg1^{\circ},\ \ tg87^{\circ}=ctg3^{\circ},... $$ Получаем: \begin{gather*} tg1^{\circ}tg3^{\circ}tg5^{\circ}...tg89^{\circ}=tg1^{\circ}tg3^{\circ}tg5^{\circ}...tg45^{\circ}...ctg5^{\circ}ctg3^{\circ}ctg1^{\circ}=\\ = \underbrace{(tg1^{\circ}ctg1^{\circ})}_{=1}\cdot \underbrace{(tg3^{\circ}ctg3^{\circ})}_{=1}\cdot \underbrace{(tg5^{\circ}ctg5^{\circ})}_{=1}\cdot ... \cdot tg45^{\circ}=tg45^{\circ}=1 \end{gather*} Ответ: 1
\(б)\ sin^2\frac\pi8+cos^2\frac{3\pi}{8}+sin^2\frac{5\pi}{8}+cos^2\frac{7\pi}{8}\)
\(cos\frac{7\pi}{8}=cos\left(\pi-\frac\pi8\right)=-cos\frac\pi8\)
\(sin\frac{5\pi}{8}=sin\left(\pi-\frac{3\pi}{8}\right)=sin\frac{3\pi}{8}\)
Получаем: \begin{gather*} sin^2\frac\pi8+cos^2\frac{3\pi}{8}+\left(sin\frac{3\pi}{8}\right)^2+\left(-cos\frac\pi8\right)^2=\\ =\left(sin^2\frac\pi8+cos^2\frac\pi8\right)+\left(cos^2\frac{3\pi}{8}+sin^2\frac{3\pi}{8}\right)=1+1=2 \end{gather*} Ответ: 2
в) \(sin160^{\circ}cos110^{\circ}+sin250^{\circ}cos340^{\circ}+tg110^{\circ}tg340^{\circ}=\) \begin{gather*} =sin(180^{\circ}-20^{\circ})cos(90^{\circ}+20^{\circ})+sin(270^{\circ}-20^{\circ})cos(360^{\circ}-20^{\circ})+\\ +tg(90^{\circ}+20^{\circ})tg(360^{\circ}-20^{\circ})=sin20^{\circ}\cdot(-sin20^{\circ})+(-cos20^{\circ})\cdot cos(-20^{\circ})+\\ +(-ctg20^{\circ})\cdot(-20^{\circ})=-sin^2 20^{\circ}-cos^2 20^{\circ}+1=-1+1=0 \end{gather*} Ответ: 0
г) \(\frac{tg\alpha}{1-cos\alpha}\), если \(\alpha=-\frac23\) и \(ctg\alpha\gt 0\)
Синус отрицательный, а котангенс положительный.
Значит \(cos\alpha\lt 0\), угол лежит в 4-й четверти. \begin{gather*} cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(-\frac23\right)^2}=-\sqrt{\frac59}=-\frac{\sqrt{5}}{3}\\ tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{cos\alpha}=-\frac23 : \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5} \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} \frac{tg\alpha}{1-cos\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2\sqrt{5}\cdot 3}{5(3+\sqrt{5})}=\frac{6\sqrt{5}(3-\sqrt{5})}{5(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5(9-5)}=0,3(3\sqrt{5}-5) \end{gather*} Ответ: \(0,3(3\sqrt{5}-5)\)
