Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую \(y=f(x)\).
Выберем на ней точку A с координатами \((x_0,y_0)\), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке \(x_0\): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: \((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)\).
Для \(A(x_0,y_0),\ B(x,y)\) получаем: \begin{gather*} (y-y_0)=k(x-x_0)\\ y=k(x-x_0)+y_0\\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end{gather*}

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде \(y=kx+b\), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace{f'(x_0)}_{=k}x+\underbrace{f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0}_{=b} $$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f' (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f' (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)

Например:

Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\). \(f(x_0)=1^2+3=4 \) \(f'(x)=2x \) \(f'(x_0)=2\cdot 1=2\) Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: \(y=2x+2\)

п.3. Вертикальная касательная

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]{x}\).

Например:

Пусть \(f(x)=\sqrt[5]{x-1}+1\). Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\). \(f(x_0)=\sqrt[5]{1-1}+1=1\) \(f'(x)=\frac15(x-1)^{\frac15-1}+0=\frac15(x-1)^{-\frac45}=\frac{1}{5(x-1)^{\frac45}} \) \(f'(x_0)=\frac{1}{5(1-1)^{\frac45}}=\frac10=+\infty\) В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная. Её уравнение: \(x=1\) Ответ: \(y=2x+2\)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=-2 \end{array} \right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке \(x_0=0\): \begin{gather*} f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot 0+4=4\\ y=4(x-0)+0=4x \end{gather*} Касательная в точке \(x_0=-2\): \begin{gather*} f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot (-2)+4=-4\\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 \end{gather*}

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: \(f'(x)=4x+4\) По условию \(f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1\) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания \(x_0=-\frac34\) \begin{gather*} f(x_0)=2\cdot\left(-\frac34\right)^2+4\cdot\left(-\frac34\right)=\frac98-3=-\frac{15}{8} \end{gather*} Уравнение касательной: \begin{gather*} y=1\cdot\left(x+\frac34\right)-\frac{15}{8}=x-\frac98 \end{gather*}

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin{gather*} f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end{gather*} Точка касания \(x_0=-\frac32\) \begin{gather*} f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end{gather*} Уравнение касательной: \begin{gather*} y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end{gather*} Или, в каноническом виде: \begin{gather*} 2x+y+\frac92=0 \end{gather*}

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin{gather*} 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end{gather*} Точка касания \(x_0=-1\) \begin{gather*} f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end{gather*} Уравнение касательной: \begin{gather*} y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end{gather*}

Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)

Пример 2. Напишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке:
a) \( f(x)=\frac5x+\frac x5,\ x_0=4 \) \begin{gather*} f(x_0)=\frac54+\frac45=\frac{25+16}{20}=\frac{41}{20}\\ f'(x)=\left(\frac5x\right)'+\left(\frac x5\right)'=-\frac{5}{x^2}+\frac15=\frac{-25+x^2}{5x^2}=\frac{x^2-25}{5x^2}\\ f'(x_0)=\frac{4^2-25}{5\cdot 4^2}=-\frac{9}{80} \end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=-\frac{9}{80}(x-4)+\frac{41}{20}=-\frac{9}{80}x+\frac{9}{20}+\frac{41}{20}=-\frac{9}{80}x+2,5 $$
б) \( f(x)=\frac{x^2+5}{3-x},\ x_0=2 \) \begin{gather*} f(x_0)=\frac{2^2+5}{3-2}=\frac91=9\\ f'(x)=\frac{(x^2+5)'(3-x)-(x^2+5)(3-x)'}{(3-x)^2}=\frac{2x(3-x)+(x^2+5)}{(3-x)^2}=\\ =\frac{6x-2x^2+x^2+5}{(3-x)^2}=\frac{-x^2+6x+5}{(3-x)^2}\\ f'(x_0)=\frac{-2^2+6\cdot 2+5}{(3-2)^2}=13 \end{gather*} Уравнение касательной: $$ y=13(x-2)+9=13x-26+9=13x-17 $$

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac{x^2+2}{x+3}-x\) перпендикулярна прямой \(y=11x+3\). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac{1}{k_1}=-\frac{1}{11}\) \begin{gather*} f'(x)=\left(\frac{x^2+2}{x+3}\right)'-x'=\frac{2x(x+3)-(x^2+2)\cdot 1}{(x+3)^2}-1=\frac{2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2}{(x+3)^2}=\\ =\frac{x^2+6x-2-x^2-6x-9}{(x+3)^2}=- \frac{11}{(x+3)^2} \end{gather*} В точке касания: \begin{gather*} f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac{11}{(x+3)^2}=-\frac{1}{11}\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-14\\ x=8 \end{array} \right. \end{gather*}
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin{gather*} f(x_0)=\frac{(-14)^2+2}{-14+3}+14=\frac{198}{-11}+14=-18+14=-4\\ y=-\frac{1}{11}(x+14)-4=-\frac{x+58}{11} \end{gather*} Уравнение касательной при \(x_0=8\) \begin{gather*} f(x_0)=\frac{8^2+2}{8+3}-8=\frac{66}{11}-8=-2\\ y=-\frac{1}{11}(x-8)-2=-\frac{x+14}{11} \end{gather*}
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac{x+58}{11}\)
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac{x+14}{11}\)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.

Найдем производные функций: \begin{gather*} f_1'(x)=2x-5,\ \ f_2'(x)=2x+1 \end{gather*} Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b - для второй.
Запишем уравнения касательных \(g_1(x)\) и \(g_2(x)\) через эти переменные. \begin{gather*} g_1(x)=f_1'(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\\ \\ g_2(x)=f_2'(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) \end{gather*} Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: \begin{gather*} \begin{cases} 2a-5=2b+1\\ 6-a^2=1-b^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2(a-b)=6\\ a^2-b^2=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a-b=3\\ (a-b)(a+b)=5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a-b=3\\ a+b=\frac53 \end{cases} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{cases} 2a=3+\frac53\\ 2b=\frac53-3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=\frac73\\ b=-\frac23 \end{cases} \end{gather*} Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2\cdot\frac73-5=-\frac13,\ \ b=6-a^2=6-\frac{49}{9}=\frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-\frac x3+\frac59 $$
Точки касания: \begin{gather*} a=\frac73,\ \ f_1(a)=\left(\frac73\right)^2-5\cdot\frac73+6=\frac{49}{9}-\frac{35}{3}+6=\frac{49-105+54}{9}=-\frac29\\ b=-\frac23,\ \ f_2(b)=\left(-\frac23\right)^2-\frac23+1=\frac49-\frac23+1\frac{4-6+9}{9}=\frac79 \end{gather*}
Ответ: касательная \(y=-\frac x3+\frac59\); точки касания \(\left(\frac73;-\frac29\right)\) и \(\left(-\frac23;\frac79\right)\)

Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: \(x^4+3x^2+2x=2x-1\) \begin{gather*} x^4+3x^2+1=0\Rightarrow D=3^2-4=5\Rightarrow x^2=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2} \end{gather*} Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, \(x\in\varnothing\) - решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin{gather*} 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ 2x^2+3=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x^2=-\frac32 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x\in\varnothing \end{array} \right. \Rightarrow x=0 \end{gather*} Точка касания \(x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0\).
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\).

Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin{gather*} 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac{0,4}{2}=-0,2 \end{gather*} Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние \(OA=\sqrt{0,4^2+(-0,2)^2}=0,2\sqrt{2^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
Ответ: \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)