Уравнение гармонических колебаний

п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс

Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.

Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10^-14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·10¹⁵ с

Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени \(s=x(t)\), то для периодического процесса выполняется равенство: \(x(t+T)=x(t)\).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции \(sin⁡t\) и \(cos⁡t\) с периодом \(T=2\pi\).

Множитель \(\omega\) перед аргументом \(t\) тригонометрической функции сокращает её период в \(\omega\) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:

Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при \(t_0=0\), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой \(\varphi_0=0\). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: \begin{gather*} \nu=\frac Nt,\ \ \omega=2\pi\nu=2\pi\frac Nt\\ \omega=2\pi\cdot\frac{20}{10}=4\pi\ \text{(рад/с)} \end{gather*} Получаем закон колебаний: \(x(t)=5cos(4\pi t)\)

п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении

Пусть \(x(t)\) - координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acos⁡\omega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-A\omega sin\omega t=A\omega cos⁡\left(\omega t+\frac\pi 2\right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на \(\frac\pi 2\). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=A\omega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x''(t)=-A\omega^2 cos\omega t=A\omega^2 cos⁡(\omega t+\pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на \(\frac\pi 2\) и колебания координаты на \(\pi\). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=A\omega^2 $$ Например:
При A=2 и \(\omega=\frac12\) получаем такие синусоиды:

Из уравнения для ускорения получаем: $$ x''(t)=-A\omega^2cos\omega t=-\omega^2(Acos\omega t)=-\omega^2 x(t) $$ Откуда следует:

Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin⁡(\omega t+\varphi_0)\ \text{или}\ x(t)=A cos⁡(\omega t+\varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл \(x(t)\) и \(\omega\) будет разным.

п.3. Примеры

Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Горизонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения.

По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: \(F=-k\cdot x(t)\)
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: \begin{gather*} F=ma=m\cdot x''(t)\\ m\cdot x''(t)=-k\cdot x(t) \end{gather*} Уравнение движения грузика: $$ x''(t)+\frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: \(\omega=\sqrt{\frac km}\)
Общее решение уравнения: \(x(t)=Acos\left(\sqrt{\frac km}+\varphi_0\right)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=A\sqrt{\frac km},\ \ a_m=A\frac km $$ Ответ: \(\omega=\sqrt{\frac km}\)

Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?

Математический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g.

В положении равновесия на шарик действуют и уравновешивают друг друга две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити F_H.
В положении максимального отклонения под углом α к вертикали равнодействующая уже не равна 0, и, как только мы отпустим шарик, он начинает перемещаться вниз. Уравнение движения: \begin{gather*} m\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{F_H}-m\overrightarrow{g} \end{gather*} \(\overrightarrow{F_H}\perp\overrightarrow{F}\) т.к. равнодействующая \(\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\) направлена по касательной. В проекции на направление \(\overrightarrow{F}\) сила натяжения \(\overrightarrow{F_H}\) даст 0, а сила тяжести \(mgsin⁡\alpha\). Получаем: \begin{gather*} ma=0-mgsin\alpha=-mgsin\alpha\\ a=-gsin\alpha \end{gather*} Для смещения x по дуге окружности радиусом угол \(\alpha=\frac xl\). Для небольших углов (до 20°) \(sin\frac xl\approx\frac xl\) (см. приближения функций при малых x в §52 данного справочника). Поэтому: $$ a=-gsin\frac xl\approx-\frac gl x $$ И мы получаем уравнение гармонических колебаний: \(x''(t)+\frac gl x=0,\ \omega=\sqrt{\frac gl}\)
Общее решение уравнения: \(x(t)=Acos\left(\frac gl t+\varphi_0\right)\)
Амплитудные значения скорости и ускорения: \(v_m=A\sqrt{\frac gl},\ a_m=A\frac gl\)
Ответ: \(\omega=\sqrt{\frac gl}\)

Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?

LC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем.

Напряжение на конденсаторе \(U_C(t)=\frac{Q(t)}{C}\). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС \(\varepsilon_L(t)=-L\frac{\triangle I}{\triangle t}\). При переходе к пределу \(\triangle t\rightarrow 0\) получаем производную \(\varepsilon_L(t)=-LI'(t)\). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: \begin{gather*} U_c(t)=\varepsilon_L(t)\Rightarrow \frac{Q(t)}{C}=-LI'(t)\Rightarrow \frac{Q(t)}{C}+LI'(t)=0 \end{gather*} Вспомним, что \(Q'(t)=I(t)\) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда \(I'(t)=Q''(t)\).
\begin{gather*} \frac{Q(t)}{C}+LQ''(t)=0 \end{gather*} Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q''(t)=\frac{1}{LC}Q(t)=0,\ \ \omega=\frac{1}{\sqrt{LC}} $$ Общее решение уравнения: \(Q(t)=Q_m cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}t+\varphi_0\right)\)
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=\frac{Q(t)}{C}=\frac{Q_m}{C}cos\left(\frac{1}{\sqrt{Lc}}t+\varphi_0\right) $$ Амплитудное значение напряжения: \(U_m=\frac{Q_m}{C}\)
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-\frac{Q_m}{\sqrt{LC}}sin\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}t+\varphi_0\right)=\frac{Q_m}{\sqrt{LC}}cos\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}t+\varphi_0+\frac\pi 2\right) $$ Амплитудное значение тока: \(I_m=\frac{Q_m}{\sqrt{LC}}\)
Ток опережает колебания заряда и напряжения на \(\frac\pi 2\)

Ответ: \(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)