Тригонометрические неравенства с параметром

п.1. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) \(sinax\gt\frac12\) \begin{gather*} \frac\pi6+2\pi k\lt ax\lt\frac{5\pi}{6}+2\pi k \end{gather*} При \(a=0\) решений нет. При \(a\lt 0:\ \frac{\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a}\gt x\gt \frac{5\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a}\) При \(a\gt 0:\ \frac{\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a}\lt x\lt \frac{5\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a}\)

Ответ:
При \(a=0\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a\lt 0,\ x\in\left(\frac{5\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a};\ \frac{\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a}\right).\)
При \(a\gt 0,\ x\in\left(\frac{\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a};\ \frac{5\pi}{6a}+\frac{2\pi k}{a}\right)\)

б) \(tg(ax+3)\geq 5\)
\(arctg5+\pi k\leq ax+3\lt\frac\pi2+\pi k\Rightarrow arctg5 -3+\pi k\leq ax\lt \frac\pi2-3+\pi k\)
При \(a=0\) необходимо, чтобы: \begin{gather*} \begin{cases} arctg5-3+\pi k\leq 0\\ \frac\pi2-3+\pi k\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k\leq \frac{3-arctg5}{\pi}\lt 0,52\\ k\gt\frac3\pi-\frac12\gt 0,44 \end{cases} \Rightarrow 0,44\lt k\lt 0,52 \end{gather*} Т.к. \(k\) - целое, решений нет.
При \(a\lt 0:\ \frac{arctg5-3}{a}+\frac{\pi k}{a}\geq x\gt \frac{\frac\pi2-3}{a}+\frac{\pi k}{a}\)
При \(a\gt 0:\ \frac{arctg5-3}{a}+\frac{\pi k}{a}\leq x\lt \frac{\frac\pi2-3}{a}+\frac{\pi k}{a}\)
Ответ:
При \(a=0\) решений нет, \(x\in\varnothing\)
При \(a\lt 0,\ x\in\left.\left(\frac{\frac\pi2-3}{a}+\frac{\pi k}{a};\ \frac{arctg5-3}{a}+\frac{\pi k}{a}\right.\right]\)
При \(a\gt 0,\ x\in\left.\left[\frac{arctg5-3}{a}+\frac{\pi k}{a};\ \frac{\frac\pi2-3}{a}+\frac{\pi k}{a}\right.\right)\)

Пример 2. Найдите \(a\), при которых неравенство выполняются для любых \(x\in\mathbb{R}\):

a) \((a^2-4)cosx+4asinx\leq 5a\)
Введем вспомогательный угол: \begin{gather*} \rho=\sqrt{(a^2-4)^2+(4a)^2}=\sqrt{a^4-8a^2+16+16a^2}=\sqrt{a^4+8a^2+16}=\\ =\sqrt{(a^2+4)^2}=|a^2+4|=a^2+4\gt 0 \end{gather*} Разделим на \(\rho:\) \begin{gather*} \frac{(a^2-4)}{a^2+4}cosx+\frac{4a}{a^2+4}sinx\leq\frac{5a}{a^2+4}\\ cos\varphi=\frac{(a^2-4)}{a^2+4},\ \ sin\varphi=\frac{4a}{a^2+4}\\ cos\varphi cosx+sin\varphi sinx\leq\frac{5a}{a^2+4}\\ cos(x-\varphi)\leq\frac{5a}{a^2+4}\\ cox(x-\varphi)\leq 1\leq \frac{5a}{a^2+4} \end{gather*} Неравенство выполняется при любых \(x\), если: \begin{gather*} \frac{5a}{a^2+4}\geq 1\Rightarrow 5a\geq a^2+4\Rightarrow a^2-5a+4\leq 0\Rightarrow (a-1)(a-4)\leq 0\Rightarrow\\ \Rightarrow 1\leq a\leq 4 \end{gather*} Ответ: \(a\in[1;4]\)

б) \(sin^2x+a(2-cosx)^2-7+7a\gt 0\)
Решим неравенство относительно a: \begin{gather*} a((2-cosx)^2+7)\gt 7-sin^2x\\ a\gt\frac{7-sin^2x}{(2-cosx)^2+7} \end{gather*} Чтобы неравенство выполнялось для любого \(x\), нужно найти максимум функции справа. Дробь будет максимальной при наибольшем числителе и наименьшем знаменателе: \begin{gather*} f(x)=\frac{7-sin^2x}{(2-cosx)^2+7},\ \ f_{max}=\frac{7-0}{(2-1)^2+7}=\frac78,\ x=\pi k \end{gather*} Откуда: \(a\gt\frac78\)
Ответ: \(a\in\left(\frac78;+\infty\right)\)

Пример 3. Найдите \(a\), при которых система имеет единственное решение:
a) \begin{gather*} \begin{cases} (tgx-1)(x+a)=0\\ |x|\lt 1 \end{cases} \end{gather*} Решаем уравнение: \begin{gather*} (tgx-1)(x+a)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} tgx=1\\ x=-a \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi4+\pi k\\ x=-a \end{array} \right. \end{gather*} Пусть единственным решением будет \(x=\frac\pi4+\pi k\). Тогда, учитывая \(|x|\lt 1\), исключаем второе решение: \begin{gather*} \begin{cases} x=\frac\pi4+\pi k\\ |x|\lt 1\\ |-a|\geq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac\pi4\\ |a|\geq 1 \end{cases} \end{gather*} Также, решения совпадают, если: \begin{gather*} a=-\frac\pi4:\ \begin{cases} tgx=1\\ x=\frac\pi4\\ |x|\gt 1 \end{cases} \Rightarrow x=\frac\pi4 \end{gather*} При других \(a\) решений будет два.
Ответ: \(a\in\left.\left(-\infty;-1\right.\right]\cup \left\{\frac\pi4\right\}\cup\left.\left[1;+\infty\right.\right),\) единственное решение \(x=\frac\pi4\)

б) \begin{gather*} \begin{cases} x^2+2ax+4a^2-5a+3\leq 4siny-3cosy\\ 0\leq y\leq 2\pi \end{cases} \end{gather*} Функция слева: \(f(x)=x^2+2ax+4a^2-5a+3\) - парабола ветками вверх.
Вершина параболы: \(x_0=-\frac{2a}{2}=-a\) $$ f(x_0)=f_{min}=(-a)^2+2a(-a)+4a^2-5a+3=3a^2-5a+3 $$ Функция справа: $$ g(y)=4siny-3cosy=5\left(\frac45siny-\frac35cosy\right)=-5cos(y+\varphi) $$ где \(sin\varphi=\frac45,\ cos\varphi=\frac35\). Это – косинусоида с амплитудой 5. На периоде \(0\leq y\leq 2\pi\) максимальное значение достигается только в одной точке: \begin{gather*} \begin{cases} -5cos(y+\varphi)=5\\ 0\leq y\leq 2\pi \end{cases} \Rightarrow y_0+\varphi=\pi \Rightarrow y_0=\pi-\varphi=\pi-arccos\frac35 \end{gather*} Система будет иметь единственное решение (равенство), если вершина параболы (нижняя точка) будет равна: \(f_{min}=5.\)
Решаем уравнение для \(f_{min}:\) \begin{gather*} 3a^2-5a+3=5\Rightarrow 3a^2-5a-2=0\Rightarrow (3a+1)(a-2)=0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} a=-\frac13\\ a=2 \end{array} \right. \end{gather*}

При \(a=-\frac13\) вершина \(x_0=\frac13.\) Единственное решение \(\left(\frac13,\ \pi-arccos\frac35\right)\)

При \(a=2\) вершина \(x_0=-2.\) Единственное решение \(\left(-2,\ \pi-arccos\frac35\right)\)

При других значениях \(a\) парабола либо поднимается выше уровня 5, и тогда система не имеет решений; либо опускается ниже уровня 5, и тогда система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: \(a=-\frac13\), единственное решение \(\left(\frac13,\ \pi-arccos\frac35\right)\)
\(a=2\), eдинственное решение \(\left(-2,\ \pi-arccos\frac35\right)\)