Теоремы о пределах последовательностей. Неопределенности
- Свойства конечных пределов последовательностей
- Арифметические действия с конечными пределами
- Арифметические свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Неопределенности
- Раскрытие неопределенности \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)
- Раскрытие неопределенности \(\left[\infty-\infty\right]\)
- Примеры
п.1. Свойства конечных пределов последовательностей
| Теорема о единственности предела числовой последовательности Если последовательность имеет предел, то он единственный: \begin{gather*} \left. \begin{array}{r} \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=a\\ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=b \end{array} \right\} \Rightarrow a = b \end{gather*} |
| Теорема об ограниченности последовательности Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена: \begin{gather*} \left. \begin{array}{r} \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=a\\ a\ne b \end{array} \right\} \Rightarrow |y_n|\leq M,\ \forall n \end{gather*} |
| Свойство последовательности из постоянных элементов Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу, то предел последовательности равен этому числу: \begin{gather*} y_n=C,\ \forall n\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}y_n =C \end{gather*} |
| Влияние конечного числа элементов на сходимость Если у последовательности отбросить, изменить или дописать первые m элементов, это не повлияет на её сходимость на бесконечности: \begin{gather*} \left. \begin{array}{r} \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\\ y_{n\pm m}=x_n \end{array} \right\} \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=a \end{gather*} а также: \begin{gather*} \left. \begin{array}{r} \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\pm \infty\\ y_{n\pm m}=x_n \end{array} \right\} \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\pm \infty \end{gather*} |
п.2. Арифметические действия с конечными пределами
Пусть существуют две последовательности \(\left\{x_n\right\}\) и \(\left\{y_n\right\}\) с конечными пределами: \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=b \end{gather*} Пусть \(C\in\mathbb{R}\) - постоянная, некоторое число.
Тогда: \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\pm y_n)= \lim_{n\rightarrow\infty}x_n\pm \lim_{n\rightarrow\infty}y_n = a\pm b\\ \lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\cdot y_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}x_n \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}y_n = a\cdot b\\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x_n}{y_n}\right)= \frac{\lim_{n\rightarrow\infty}x_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}y_n} = \frac ab,\ b\ne 0\\ \lim_{n\rightarrow\infty}(C\cdot x_n)=C\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=C\cdot a\\ \lim_{n\rightarrow\infty}|x_n|=|a| \end{gather*}
п.3. Арифметические свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Неопределенности
Пусть существуют две последовательности \(\left\{x_n\right\}\) и \(\left\{y_n\right\}\) с конечными пределами: \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=b(b\ne 0) \end{gather*} а также бесконечно малая последовательность \(\left\{\alpha_n\right\}\) и бесконечно большая последовательность \(\left\{\beta_n\right\}\): \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\beta_n=\pm\infty \end{gather*} где бесконечность для \(\left\{\beta_n\right\}\) может быть любого знака.
Тогда:
| $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{\alpha_n}\right|=+\infty $$ | $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\beta_n}=0 $$ | $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{y_n}{\alpha_n}\right|=+\infty $$ | $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{\beta_n}=0 $$ |
| $$ \left|\frac10\right|=+\infty $$ | $$ \frac{1}{\pm\infty}=0 $$ | $$ \left|\frac{\text{число}}{0}\right|=+\infty $$ | $$ \left|\frac{\text{число}}{\pm\infty}\right|=0 $$ |
| $$ \lim_{n\rightarrow\infty}(\beta_n\pm x_n)=\infty $$ | $$ \lim_{n\rightarrow\infty}(\alpha_n\cdot x_n)=0 $$ | $$ \lim_{n\rightarrow\infty}(\beta_n\cdot |y_n|)=\pm\infty $$ |
| $$ \pm\infty\pm\text{число}=\pm\infty $$ | $$ 0\cdot \text{число}=0 $$ | $$ \pm\infty\cdot\text{число}=\pm\infty $$ |
а также: \begin{gather*} (+\infty)+(+\infty)=+\infty,\ \ (-\infty)+(-\infty)=-\infty\\ (+\infty)\cdot (+\infty)=+\infty,\ \ (-\infty)\cdot (-\infty)=+\infty,\ \ (+\infty)\cdot (-\infty)=-\infty \end{gather*} Мы можем расширить числовую прямую с действительными числами за счет бесконечно далеких точек: \(\mathbb{\overline{R}}=\left\{-\infty\right\}\cup \mathbb{R}\cup\left\{+\infty\right\}\). С бесконечно далекими точками возможны арифметические операции, как показано выше.
Однако для некоторых операций существуют ограничения, так называемые неопределенности: $$ \left[-\infty -\infty\right],\ \left[\frac{\infty}{\infty}\right],\ \left[\frac{0}{0}\right],\ \left[0^0\right],\ \left[1^\infty\right],\ \left[\infty^0\right], \left[0\cdot\infty\right],\ \left[\frac{\pm\infty}{0}\right],\ \left[\frac{\text{число}}{0}\right] $$
Чтобы найти значение неопределенного выражения, нужно применять ПРАВИЛО раскрытия неопределенностей. В этом смысле бесконечности не являются «полноценными числами» в классическом смысле, т.к. не все операции для них определены.
п.4. Раскрытие неопределенности \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)
Результат арифметических операций с бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями может быть не определен. Так, можно получить разный результат для предела частного бесконечно больших последовательностей, т.е. деления «бесконечность/бесконечность».
Например:
1) Пусть \(x_n=3n^2+2,\ y_n=n^3\)
Пределы этих последовательностей: \(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=+\infty,\ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=+\infty\).
Найдем предел их частного: $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+2}{n^3}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac3n+\frac{2}{n^3}\right)=0+0=0 $$ 2) Теперь пусть \(x_n=3n^2+2,\ y_n=n^2.\)
Тогда: $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+2}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(3+\frac{2}{n^3}\right)=3+0=3 $$ 3) Наконец, пусть \(x_n=3n^2+2,\ y_n=n\).
Получим: $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+2}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(3n+\frac{2}{n}\right)=+\infty+0=+\infty $$
1) при \(k\lt p\) нулю.
2) при \(k=p\) частному коэффициентов при старших степенях: \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a_k}{b_p}\).
3) при \(k\gt p\) бесконечности.
В общем случае, это правило справедливо не только для целых, но и для рациональных, а также действительных степеней k и p.
Например:
Найдем предел \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5n^3-n+1}{2n^3+3n^2}\)
Максимальная степень в дроби m=3. Выносим её за скобки: $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5n^3-n+1}{2n^3+3n^2}= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3\left(5-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(2+\frac3n\right)}= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(5-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{\left(2+\frac3n\right)}= \frac{5-0+0}{2+0}=2,5 $$ Ответ: 2,5
п.5. Раскрытие неопределенности \(\left[\infty-\infty\right]\)
Разность двух «бесконечностей», как и частное, может дать в результате 0, число или бесконечность. В этом смысле, разность \(\left[\infty-\infty\right]\) также является неопределенностью.
Например:
Найдем предел \(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)\)
Т.к. \(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}=\infty\) и \(\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2-1}=\infty\) у нас неопределенность вида \(\left[\infty-\infty\right]\).
Умножаем и делим на сопряженное выражение: \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}=\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n^2+1)(n^2-1)}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}=\\ =\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}2}{\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}+\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n^2+1}}=\frac{2}{\infty+\infty}=\frac{2}{\infty}=0 \end{gather*} Ответ: 0
п.6. Примеры
Пример 1. Известно, что \(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=10,\ \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=\frac12\). Найдите:
a) \( \lim_{n\rightarrow\infty}3x_n-4\lim_{n\rightarrow\infty}y_n \) $$ \lim_{n\rightarrow\infty}3x_n-4\lim_{n\rightarrow\infty}y_n= 3\lim_{n\rightarrow\infty}x_n - 4\lim_{n\rightarrow\infty}y_n = 3\cdot 10-4\frac12=28 $$ б) \( \lim_{n\rightarrow\infty}(5x_n\cdot y_n) \) $$ \lim_{n\rightarrow\infty}(5x_n\cdot y_n)=5\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}y_n=5\cdot 10\cdot \frac12=25 $$ в) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x_n}{4y_n}\right) \) $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x_n}{4y_n}\right)=\frac14\cdot \frac{\lim_{n\rightarrow\infty}x_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}y_n} = \frac14\cdot \frac{10}{\frac12}=5 $$ г) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x_n^3}{y_n}\right) \) $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{x_n^3}{y_n}\right)=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}x_n\cdot \lim_{n\rightarrow\infty}x_n}{\lim_{n\rightarrow\infty}y_n}= \frac{\left(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n\right)^3}{\lim_{n\rightarrow\infty}y_n}=\frac{10^3}{\frac12}=2000 $$ Ответ: a) 28; б) 25; в) 5; г) 2000
Пример 2. Найдите пределы последовательностей, используя арифметические свойства пределов и правило раскрытия неопределенности \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\):
a) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac5n\right) \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n+1}+\frac5n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n\left(1+\frac1n\right)}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac5n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac1n} +0=\frac{1}{1+0}=1 \end{gather*} б) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2(n^2-8)}{1+2n+3n^2} \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2(n^2-8)}{1+2n+3n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2n^2\left(1-\frac{8}n^2\right)}{n^2\left(\frac{1}{n^2}+\frac2n+3\right)}= 2\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{8}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac2n+3}=2\cdot \frac{1-0}{0+0+3}=\frac23 \end{gather*} в) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}-4}{\sqrt{n-1}} \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}-4}{\sqrt{n-1}}= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}\left(1-\frac{4}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n\left(1-\frac1n\right)}} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}\left(1-\frac{4}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{1-\frac1n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{4}{\sqrt{n}}}{\sqrt{1-\frac1n}}=\frac{1-0}{\sqrt{1-0}}=1 \end{gather*} г) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}-5}{n^2-2} \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}-5}{n^2-2} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2\left(\frac{\sqrt{n}}{n^2}+\frac{5}{n^2}\right)}{n^2\left(1-\frac{2}{n^2}\right)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n^{\frac32}}+\frac{5}{n^2}}{1-\frac{2}{n^2}}=\frac{0+0}{1-0}=0 \end{gather*} д) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{n^3+1}+\sqrt{n^2-1}}{2n+5} \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{n^3+1}+\sqrt{n^2-1}}{2n+5} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left(\sqrt[3]{\frac{n^3+1}{n^3}}+\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}\right)}{n\left(2+\frac5n\right)}=\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^3}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}{2+\frac5n}= \frac{\sqrt[3]{1+0}+\sqrt{1-0}}{2+0}=1 \end{gather*} e) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3-2n+4}{n^2+1} \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3-2n+4}{n^2+1} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^3\left(1-\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^3}\right)}{n^3\left(\frac1n+\frac{1}{n^3}\right)} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^3}}{\frac1n+\frac{1}{n^3}} = \frac{1-0+0}{0+0}=\frac10=+\infty \end{gather*} Ответ: a) 1; б) \(\frac23\); в) 1; г) 0; д) 1; е) \(+\infty\)
Пример 3. Найдите пределы последовательностей, используя правило раскрытия неопределенности \(\left[\infty-\infty\right]\):
a) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}) \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}(n+3-n)}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}= 3\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}= 3\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{\frac{n+3}{3}}+1\right)}=\\ =3\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac3n}+1}=3\cdot\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac32=1,5 \end{gather*} б) \( \lim_{n\rightarrow\infty}n(\sqrt{n^2+5}-\sqrt{n^2-3}) \) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}n(\sqrt{n^2+5}-\sqrt{n^2-3})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(\sqrt{n^2+5}-\sqrt{n^2-3})(\sqrt{n^2+5}+\sqrt{n^2-3})}{(\sqrt{n^2+5}+\sqrt{n^2-3})} = \\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\left((n^2+5)-(n^2-3)\right)}{\sqrt{n^2+5}+\sqrt{n^2-3}}=8\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{n\left(\sqrt{\frac{n^2+5}{n^2}}+\sqrt{\frac{n^2-3}{n^2}}\right)}=\\ =8\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{3}{n^2}}}=8\cdot \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac82=4 \end{gather*} Ответ: a) 1,5; б) 4
Пример 4. Найдите пределы последовательностей, используя формулы для суммы арифметической прогрессии (см. §26 справочника для 9 класса) и геометрической прогрессии (см. §27 справочника для 9 класса):
a) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac15+...+\frac{1}{5^n}}{1+\frac12+...+\frac{1}{2^n}} \)
Сумма геометрической прогрессии: \(S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}\)
Если \(b_1=1,\ q=\frac15\), то \(S_n=\frac{\left(\frac15\right)^n-1}{\frac15-1}=\frac45\left(1-\left(\frac15\right)^n\right)\)
Если \(b_1=1,\ q=\frac12\), то \(S_n=\frac{\left(\frac12\right)^n-1}{\frac12-1}=\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)\) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac15+...+\frac{1}{5^n}}{1+\frac12+...+\frac{1}{2^n}} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac45\left(1-\left(\frac15\right)^n\right)}{\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)} = \frac{\frac45(1-0)}{\frac12(1-0)}=\frac85=1,6 \end{gather*} б) \( \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2+...+n}{3n^2} \)
Сумма арифметической прогрессии: \(S_n=b_1\frac{a_1+a_n}{2}n\)
Если \(a_1=1,\ a_n=n\), то \(S_n=\frac{(1+n)n}{2}\) \begin{gather*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+2+...+n}{3n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{(1+n)n}{2}}{3n^2}=\frac16\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+n^2}{n^2}=\frac16\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2\left(\frac1n+1\right)}{n^2}=\\ =\frac16\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac1n+1\right)=\frac16(0+1)\frac16 \end{gather*} Ответ: a) 1,6; б) \(\frac16\)
