Тангенс и котангенс суммы и разности аргументов

п.1. Тангенс и котангенс суммы

Для вывода формул тангенса и котангенса суммы используем формулы синуса и косинуса суммы, полученные в §13 данного справочника.

\begin{gather*} tg(\alpha+\beta)=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}=\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}=\frac{\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\frac{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}=\\ =\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha\cdot tg\beta}\\ \\ ctg(\alpha+\beta)=\frac{cos(\alpha+\beta)}{sin(\alpha+\beta)}=\frac{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}= \frac{\frac{cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}{\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}=\\ =\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta-1}{ctg\alpha+ ctg\beta} \end{gather*}

п.2. Тангенс и котангенс разности

Для вывода формулы тангенса и котангенса разности используем формулы синуса и косинуса разности, полученные в §13 данного справочника. \begin{gather*} tg(\alpha-\beta)=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha-\beta)}=\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}=\frac{\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\frac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}=\\ =\frac{tg\alpha-tg\beta}{1+tg\alpha\cdot tg\beta}\\ \\ ctg(\alpha-\beta)=\frac{cos(\alpha-\beta)}{sin(\alpha-\beta)}=\frac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}= \frac{\frac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}{\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}}=\\ =\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta+1}{ctg\beta-ctg\alpha}=-\frac{ctg\alpha\cdot ctg\beta+1}{ctg\alpha-ctg\beta} \end{gather*}

п.3. Примеры

Пример 1. Вычислите:
a) \begin{gather*} \frac{tg\frac{\pi}{18}+tg\frac{5\pi}{18}}{1-tg\frac{\pi}{18}\cdot tg\frac{5\pi}{18}}=tg\left(\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{18}\right)=tg\frac\pi3=\sqrt{3} \end{gather*}
б) \begin{gather*} \frac{tg^2 52,5^{\circ}\cdot tg^2 7,5^{\circ}-1}{tg^2 52,5^{\circ}-tg^2 7,5^{\circ}}=\frac{(tg 52,5^{\circ}\cdot tg 7,5^{\circ}-1)(tg 52,5^{\circ}\cdot 7,5^{\circ} +1)}{(tg 52,5^{\circ} -tg7,5^{\circ})(tg52,5^{\circ}+tg7,5^{\circ})}=\\ =\frac{tg52,5^{\circ}\cdot 7,5^{\circ}-1}{tg 52,5^{\circ}+tg 7,5^{\circ}}\cdot\frac{tg52,5^{\circ}\cdot tg7,5^{\circ}+1}{tg52,5^{\circ}-tg7,5^{\circ}}=-\frac{1}{tg(52,5^{\circ}+7,5^{\circ})}\cdot\frac{1}{tg(52,5^{\circ}-7,5^{\circ})}=\\ =-\frac{1}{tg60^{\circ}}\cdot\frac{1}{tg 45^{\circ}}=-ctg60^{\circ}\cdot 1=-\frac{1}{\sqrt{3}} \end{gather*}
в) \begin{gather*} tg\left(\frac\pi4-\alpha\right)-\frac{ctg\alpha-1}{ctg\alpha+1}=\frac{tg\frac\pi4-tg\alpha}{1+tg\frac\pi4\cdot tg\alpha}-\frac{(ctg\alpha-1)\cdot tg\alpha}{(ctg\alpha+1)\cdot tg\alpha}=\\ =\frac{1-tg\alpha}{1+tg\alpha}-\frac{1-tg\alpha}{1+tg\alpha}=0 \end{gather*}
г) \begin{gather*} \frac{sin(\alpha-\beta)}{sin(\alpha+\beta)}-\frac{tg\alpha-tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}=\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}-\frac{tg\alpha-tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}=\\ =\frac{\frac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}{\frac{sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}}-\frac{tg\alpha-tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}=\frac{tg\alpha-tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}-\frac{tg\alpha-tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}=0 \end{gather*}

Пример 2.Упростите выражение:
a) \begin{gather*} ctg(\beta-\alpha)(tg\alpha-tg\beta)+tg\alpha tg\beta+cos^2\gamma=\frac{tg\alpha-tg\beta}{tg(\beta-\alpha)}+tg\alpha tg\beta+cos^2\gamma=\\ =\frac{(tg\alpha-tg\beta)(1+tg\alpha tg\beta)}{(tg\beta-tg\alpha)}+tg\alpha tg\beta+cos^2\gamma=\\ =-(1+tg\alpha tg\beta)+tg\alpha tg\beta+cos^2\gamma=-1+cos^2\gamma=-sin^2\gamma \end{gather*} Ответ: \(-sin^2\gamma\)
б) \begin{gather*} cos(\alpha+\beta)(1+tg\alpha tg\beta)+(tg\alpha tg\beta-1)cos(\alpha-\beta)=\\ =(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta)(1+tg\alpha tg\beta)+(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)(tg\alpha tg\beta-1)=\\ =(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta)+\\ +tg\alpha tg\beta(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)=\\ =-2sin\alpha sin\beta+2tg\alpha tg\beta cos\alpha cos\beta=-2sin\alpha sin\beta+2sin\alpha sin\beta=0 \end{gather*} Ответ: 0
в) $$ tg^2\beta-\frac{sin^2(\alpha+\beta)+sin^2(\beta-\alpha)}{2cos^2\alpha cos^2\beta}=tg^2\beta-\frac{sin^2(\alpha+\beta)+sin^2(\alpha-\beta)}{2cos^2\alpha cos^2\beta} $$ Найдём: \begin{gather*} sin^2(\alpha+\beta)+sin^2(\alpha-\beta)=(sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta)^2+(sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta)^2=\\ =(sin\alpha cos\beta)^2+2sin\alpha cos\beta cos\alpha sin\beta+(cos\alpha sin\beta)^2+\\ +(sin\alpha cos\beta)^2-2sin\alpha cos\beta cos\alpha sin\beta+(cos\alpha sin\beta)^2=\\ 2((sin\alpha cos\beta)^2+(cos\alpha sin\beta)^2) \end{gather*} Подставляем: \begin{gather*} tg^2\beta-\frac{2((sin\alpha cos\beta)^2+(cos\alpha sin\beta)^2)}{2cos^2\alpha cos^2\beta}=tg^2\beta-\left(\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\right)^2-\left(\frac{sin\beta}{cos\beta}\right)=\\ =tg^2\beta-tg^2\alpha-tg^2\beta=-tg^2\alpha \end{gather*} Ответ: \(-tg^2\alpha\)
г*) \(tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\gamma+tg\gamma tg\alpha\), если \(\alpha+\beta+\gamma=\frac\pi2\)
По условию \(\gamma=\frac\pi2-(\alpha+\beta)\). Подставляем: \begin{gather*} tg\alpha tg\beta+tg\beta tg\left(\frac\pi2-(\alpha+\beta)\right)+tg\left(\frac\pi2-(\alpha+\beta)\right)tg\alpha=\\ =tg\alpha tg\beta+ctg(\alpha+\beta)\cdot (tg\alpha+tg\beta)=tg\alpha tg\beta+\frac{tg\alpha+tg\beta}{tg(\alpha+\beta)}=\\ =tg\alpha tg\beta+\frac{(tg\alpha+tg\beta)(1-tg\alpha tg\beta)}{tg\alpha+tg\beta}=tg\alpha tg\beta+1-tg\alpha tg\beta=1 \end{gather*} Ответ: 1

Пример 3.Докажите, что \(\alpha+\beta=\frac\pi4\), если \(tg\alpha=\frac25,\ tg\beta=\frac37,\ \ 0\lt\alpha\lt\frac\pi2,\ \ 0\lt\beta\lt\frac\pi2\)

Найдем тангенс суммы: \begin{gather*} tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha\cdot tg\beta}=\frac{\frac25+\frac37}{1-\frac25\cdot\frac37}=\frac{\frac{14+15}{35}}{\frac{35-6}{35}}=\frac{29}{29}=1\\ \alpha+\beta=\frac\pi4+\pi k \end{gather*} По условию: \begin{gather*} \begin{cases} 0\lt\alpha\lt\frac\pi2\\ 0\lt\beta\lt\frac\pi2 \end{cases} \Rightarrow 0\lt\alpha+\beta\lt\pi\\ 0\lt\frac\pi4+\pi k\lt \pi\Rightarrow k = 0 \end{gather*} Значит: \(\alpha+\beta=\frac\pi4\)
Что и требовалось доказать.