Синус и косинус суммы и разности аргументов

п.1. Косинус разности и суммы

Пусть \(\angle AOB=\alpha,\ \angle AOC=\beta,\ \alpha\gt\beta\) Тогда \(\angle BOC=\alpha-\beta\)

B \(\Delta BOC\) по теореме косинусов: \(BC^2=OB^2+OC^2-2\cdot OB\cdot OC\cdot cos(\alpha-\beta)\)
Т.к. \(OB=OC=1\), получаем: $$ BC^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot cos(\alpha-\beta)=2-2cos(\alpha-\beta)=2(1-cos(\alpha-\beta)) $$
B \(\Delta BDC\) по теореме Пифагора: \(BC^2=BD^2+CD^2=(BF-CE)^2+(OE-OF)^2=\) \begin{gather*} =(sin\alpha-sin\beta)^2+(cos\beta-cos\alpha)^2=sin^2\alpha-2sin\alpha sin\beta+sin^2\beta+\\ +cos^2\alpha-2cos\alpha cos\beta+cos^2\beta=(sin^2\alpha+cos^2\alpha)+(sin^2\beta+cos^2\beta)-\\ -2sin\alpha sin\beta-2cos\alpha cos\beta=2(1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta) \end{gather*}
Приравниваем оба полученных выражения для \(BC^2\): \begin{gather*} 2(1-cos(\alpha-\beta))=2(1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta)\\ 1-cos(\alpha-\beta)=1-sin\alpha sin\beta-cos\alpha cos\beta\\ cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta \end{gather*}
Чтобы найти косинус суммы, используем полученное выражение для косинуса разности и четность функций: \begin{gather*} cos(\alpha+\beta)=cos(\alpha-(-\beta))=cos\alpha cos(-\beta)+sin\alpha sin(-\beta)=\\ =cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta\\ cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta \end{gather*}

п.2. Синус суммы и разности

По формуле приведения: \begin{gather*} sin(\alpha+\beta)=cos\left(\frac\pi2-(\alpha+\beta)\right)=cos\left(\left(\frac\pi2-\alpha\right)-\beta\right)=\\ =cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)cos\beta+sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)sin\beta=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta\\ sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta \end{gather*}
Чтобы найти синус разности, используем полученное выражение для синуса суммы и четность функций: \begin{gather*} sin(\alpha-\beta)=sin(\alpha+(-\beta))=sin\alpha cos(-\beta)+cos\alpha sin(-\beta)=\\ =sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta\\ sin(\alpha-\beta)= sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta \end{gather*}

п.3. Примеры

Пример 1. Упростите выражение:
a) \begin{gather*} \frac{cos\alpha cos\beta-cos(\alpha+\beta)}{sin\alpha+sin\beta-cos(\alpha-\beta)}=\frac{cos\alpha cos\beta-(cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta)}{sin\alpha sin\beta-(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)}=\\ =\frac{sin\alpha sin\beta}{-cos\alpha cos\beta}=-tg\alpha tg\beta \end{gather*}
б) \begin{gather*} cos\left(\frac\pi3+\alpha\right)+cos\left(\frac\pi3-\alpha\right)-cos\alpha=cos\frac\pi3 cos\alpha-sin\frac\pi3 sin\alpha+cos\frac\pi3 cos\alpha+\\ +sin\frac\pi3 sin\alpha-cos\alpha=2cos\frac\pi3 cos\alpha=cos\alpha\left(2cos\frac\pi3-1\right)=\\ =cos\alpha\left(2\cdot\frac12-1\right)=0 \end{gather*}
в) \begin{gather*} \frac{2cos(\alpha-\beta)}{sin(\alpha-\beta)+sin(\alpha+\beta)}-ctg\alpha=\\ =\frac{2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)}{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta+sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta}-ctg\alpha=\\ =\frac{2(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)}{2sin\alpha cos\beta}-ctg\alpha=\frac{cos\alpha cos\beta}{sin\alpha cos\beta}+\frac{sin\alpha sin\beta}{sin\alpha cos\beta}-ctg\alpha=\\ =ctg\alpha+tg\beta-ctg\alpha=tg\beta \end{gather*}
г) \begin{gather*} cos^2\left(\frac\pi3+\alpha\right)+cos^2\left(\frac\pi3-\alpha\right)+cos^2\alpha=\left(cos\frac\pi3 cos\alpha-sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+\\ +\left(cos\frac\pi3 cos\alpha+sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+cos^2\alpha=\left(cos\frac\pi3 cos\alpha\right)^2-2cos\frac\pi3 cos\alpha sin\frac\pi3 sin\alpha+\\ +\left(sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+\left(cos\frac\pi3 cos\alpha\right)^2+2cos\frac\pi3 cos\alpha sin\frac\pi3 sin\alpha+\left(sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+cos^2\alpha=\\ =2\left(cos\frac\pi3 cos\alpha\right)^2+2\left(sin\frac\pi3 sin\alpha\right)^2+cos^2\alpha=2\cdot \frac14 cos^2\alpha+2\cdot\frac34 sin^2\alpha+cos^2\alpha\\ =\frac32 cos^2\alpha+\frac32 sin^2\alpha=\frac32(cos^2\alpha+sin^2\alpha)=\frac32 \end{gather*}

Пример 2.Вычислите:
a) \(cos(\alpha+\beta)\), если \(sin\alpha=\frac23,\ cos\beta=-\frac34,\ \ \frac\pi2\lt\alpha\lt\pi,\ \ \frac\pi2\lt\beta\lt\pi\)
Оба угла во 2-й четверти, синусы положительные, косинусы отрицательные: \begin{gather*} cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=-\sqrt{\frac59}=-\frac{\sqrt{5}}{3}\\ sin\beta=\sqrt{1-cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac34\right)^2}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4} \end{gather*} Получаем: $$ cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta=-\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\left(-\frac34\right)-\frac23\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{7}}{12} $$ Ответ: \(\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{7}}{12}\)
б) \(sin(2\beta-\alpha)\), если \(sin\alpha=\frac15,\ tg2\beta=-\frac43,\ \ \frac\pi2\lt\alpha\lt\pi,\ \ \frac\pi2\lt\beta\lt\frac\pi2\)
\(\frac\pi4\lt\beta\lt\frac\pi2\Rightarrow\frac\pi2\lt 2\beta\lt\pi\)
Углы \(\alpha\) и \(2\beta\) во 2-й четверти, синусы положительные, все остальные функции отрицательные: \begin{gather*} cos\alpha=-\sqrt{1-sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac15\right)^2}=-\sqrt{\frac{24}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}\\ cos2\beta=-\sqrt{\frac{1}{1+tg^2 2\beta}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac43\right)^2}}=-\sqrt{\frac{1}{25/9}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35\\ sin2\beta=tg2\beta\cdot cos2\beta=-\frac43\cdot\left(-\frac35\right)=\frac45 \end{gather*} Получаем: $$ sin(2\beta-\alpha)=sin2\beta cos\alpha-cos2\beta sin\alpha=\frac45\cdot\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)-\left(-\frac35\right)\cdot\frac15=\frac{3-8\sqrt{6}}{25} $$ Ответ: \(\frac{3-8\sqrt{6}}{25}\)
в*) \(cos\left(arcsin\frac13+arcsin\frac23\right)\)
Формулы преобразования аркфункций - см. §11 данного справочника
$$ cos\left(arcsin\frac13+arcsin\frac23\right)=cos\left(arcsin\frac13\right)cos\left(arcsin\frac23\right)-sin\left(arcsin\frac13\right)sin\left(arcsin\frac23\right) $$ Т.к. \(sin(arcsin x)=x\), получаем: \(sin\left(arcsin\frac13\right)=\frac13\) и \(sin\left(arcsin\frac23\right)=\frac23\)
Выведем формулу для \(cos(arcsin x)\)
Пусть \(arcsin x=\varphi\). Тогда \(x=sin\varphi\) $$ cos(arcsin x)=cos\varphi=\sqrt{1-sin^2\varphi}=\sqrt{1-x^2} $$ Получаем: \begin{gather*} cos\left(arcsin\frac13\right)=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ cos\left(arcsin\frac23\right)=\sqrt{1-\left(\frac23\right)^2}=\sqrt{\frac59}=\frac{\sqrt{5}}{3} \end{gather*} Подставляем: $$ cos\left(arcsin\frac13+arcsin\frac23\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}-\frac13\cdot\frac23=\frac{2(\sqrt{10}-1)}{9} $$ Ответ: \(\frac{2(\sqrt{10}-1)}{9}\)
г*) \(\frac{cos3\alpha+cos4\alpha+cos5\alpha}{sin3\alpha+sin4\alpha+sin5\alpha}\), если \(\alpha=\frac\pi8\) \begin{gather*} \frac{cos3\alpha+cos4\alpha+cos5\alpha}{sin3\alpha+sin4\alpha+sin5\alpha} = \frac{cos(4\alpha-\alpha)+cos4\alpha+cos(4\alpha+\alpha)}{sin(4\alpha-\alpha)+sin4\alpha+sin(4\alpha+\alpha)}=\\ =\frac{cos4\alpha cos\alpha+sin4\alpha sin\alpha+cos4\alpha+cos4\alpha cos\alpha-sin4\alpha sin\alpha}{sin4\alpha cos\alpha-cos4\alpha sin\alpha+sin4\alpha+sin4\alpha cos\alpha+cos4\alpha sin\alpha}=\\ =\frac{2cos4\alpha cos\alpha+cos4\alpha}{2sin4\alpha cos\alpha+sin4\alpha}=\frac{cos4\alpha(2cos\alpha+1)}{sin4\alpha(2cos\alpha+1)}=ctg4\alpha \end{gather*} Подставляем: \(ctg4\alpha=ctg4\cdot\frac\pi8=ctg\frac\pi2=0\)
Ответ: 0