Решение систем тригонометрических уравнений

Системы тригонометрических уравнений бесконечно разнообразны. При их решении используются как общие методы: подстановки, сложения, замены переменной, так и частные, связанные с особенностями преобразований тригонометрических функций.
В этом параграфе мы рассмотрим только некоторые, наиболее характерные, подходы к решению таких систем.

п.1. Системы, в которых одно из уравнений является линейным

Если одно из уравнений системы является линейным, то система решается методом подстановки.

Например:
Решим систему \( \begin{cases} x+y=\frac\pi4\\ tgx+tgy=1 \end{cases} \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin{gather*} \begin{cases} y=\frac\pi4-x\\ tgx+tg\left(\frac\pi4-x\right)=1 \end{cases} \end{gather*} Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin{gather*} tgx+\frac{tg\frac\pi4-tgx}{1+tg\frac\pi4\cdot tgx}=1\Rightarrow \frac{1-tgx}{1+tgx}=1-tgx \end{gather*} ОДЗ: \(tgx\ne -1\) \begin{gather*} 1-tgx=(1-tgx)(1+tgx)\Rightarrow(1-tgx)(1-1-tgx)=0\\ -tgx(1-tgx)=0\\ \begin{cases} \left[ \begin{array} {l l} tgx=0\\ tgx=1 \end{array} \right. \\ tgx\ne -1 \end{cases} \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} tgx=0\\ tgx=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=\pi k\\ x_2=\frac\pi4+\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Получаем две пары решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array} {l l} \begin{cases} x_1=\pi k\\ y_1=\frac\pi4-x=\frac\pi4-\pi k \end{cases} \\ \begin{cases} x_2=\frac\pi4+\pi k\\ y_2=\frac\pi4-\left(\frac\pi4+\pi k\right)=-\pi k \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\left(\pi k;\ \frac\pi4-\pi k\right),\ \left(\frac\pi4+\pi k;\ -\pi k\right)\right\}\)

п.2. Системы с независимыми уравнениями

Если уравнения системы являются независимыми, то они решаются по отдельности. При этом счетчики периодов обязательно должны быть различными (например, \(k\) и \(n\), для двух независимых уравнений).

Например:
Решим систему \( \begin{cases} sin(x-y)=0\\ cox(x+y)=1 \end{cases} \)
Уравнения независимы, решаем каждое из них, а затем методом сложения находим \(x\) и \(y\): \begin{gather*} \begin{cases} x-y=\pi k\\ x+y=2\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=\pi k+2\pi n\\ 2y=2\pi n-\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{\pi k}{2}+\pi n=\frac\pi2(k+2n)=\frac\pi2(2n+k)\\ y=\pi n-\frac{\pi k}{2}=\frac\pi2(2n-k) \end{cases} \end{gather*} Ответ: \(\left(\frac\pi2(2n+k);\ \frac\pi2(2n-k)\right)\)

п.3. Системы с произведениями тригонометрических функций

Системы с произведениями тригонометрических функций и приводимые к ним решаются методом сложения.

Например:
Решим систему \( \begin{cases} sinx siny=\frac{\sqrt{3}}{4}\\ cosx cosy=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{cases} \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы косинуса суммы и разности: \begin{gather*} \begin{cases} cosxcosy+sinxsiny=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ cosxcosy-sinxsiny=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} cos(x-y)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ cos(x+y)=0 \end{cases} \end{gather*} Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin{gather*} \begin{cases} x-y=\pm\frac\pi6+2\pi k\\ x+y=\frac\pi2+\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=\pm\frac\pi6+\frac\pi2+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2\pm\frac\pi6+\pi(n-2k) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac\pi4+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4\pm\frac{\pi}{12}+\frac\pi2(n-2k) \end{cases} \end{gather*} Получаем две пары решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x_1=\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n)\\ y_1=\frac\pi3+\frac\pi2(n-2k) \end{cases} \\ \begin{cases} x_2=\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n)\\ y_2=\frac\pi6+\frac\pi2(n-2k) \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\left(\frac\pi6+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi3+\frac\pi2(n-2k)\right),\ \left(\frac\pi3+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi6+\frac\pi2(n-2k)\right)\right\}\)

п.4. Замена переменных в системах тригонометрических уравнений

Системы двух уравнений с двумя тригонометрическими функциями легко решаются с помощью замены переменных.

Например:
Решим систему \( \begin{cases} tgx-siny=4\\ tg^2x+sin^2y=26 \end{cases} \)
Замена переменных: \(a=tgx,\ b=siny\) \begin{gather*} \begin{cases} a-b=4\\ a^2+b^2=26 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=b+4\\ (b+4)^2+b^2=26 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=b+4\\ 2b^2+8b-10=0 \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} a=b+4\\ b^2+4b-5=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=b+4\\ (b+5)(b-1)=0 \end{cases} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} a=-1\\ b=-5 \end{cases} \\ \begin{cases} a=5\\ b=1 \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Переменная \(b=siny\) ограничена: \(-1\leq b\leq 1\).
\(b=-5\lt-1\) не подходит. Остается вторая пара решений: \(\begin{cases} a=5\\ b=1 \end{cases} \)
Возвращаемся к исходным переменным: \begin{gather*} \begin{cases} tgx=5\\ siny=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=arctg5+\pi k\\ y=\frac\pi2+2\pi n \end{cases} \end{gather*} Ответ: \(\left(arctg5+\pi k;\ \frac\pi2+2\pi n\right)\)

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений: a) \( \begin{cases} x+y=\pi\\ sinx+siny=\sqrt{3} \end{cases} \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin{gather*} \begin{cases} y=\pi-x\\ sinx+sin(\pi-x)=\sqrt{3} \end{cases} \end{gather*} Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin{gather*} sinx+sinx=\sqrt{3}\Rightarrow 2sinx=\sqrt{3}\Rightarrow sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\\ \Rightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} \frac\pi3+2\pi k\\ \frac{2\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Получаем две пары решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac\pi3-2\pi k=\frac{2\pi}{3}-2\pi k \end{cases} \\ \begin{cases} x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\\ y=\pi-x=\pi-\frac{2\pi}{3}-2\pi k=\frac\pi3-2\pi k \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac{2\pi}{3}-2\pi k\right),\ \left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ \frac\pi3-2\pi k\right)\right\}\)

б) \( \begin{cases} sinxcosy=\frac34\\ cosxsiny=\frac14 \end{cases} \)
Добавим и вычтем уравнения и используем формулы синуса суммы и разности: \begin{gather*} \begin{cases} sinxcosy+cosxsiny=1\\ sinxcosy-cosxsiny\frac12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} sin(x+y)=1\\ sin(x-y)=\frac12 \end{cases} \end{gather*} Мы получили систему из двух независимых уравнений. Решаем каждое из них, и затем используем метод сложения, чтобы найти \(x\) и \(y\): \begin{gather*} \begin{cases} x+y=\frac\pi2+2\pi k\\ x-y=(-1)^n\frac\pi6=\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x=\frac\pi2+(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k+n)\\ 2y=\frac\pi2-(-1)^n\frac\pi6+\pi(2k-n) \end{cases} \Rightarrow\\ \Rightarrow \begin{cases} x=\frac\pi4+(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac\pi2(2k+n)\\ y=\frac\pi4-(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac\pi2(2k-n) \end{cases} \end{gather*} Ответ: \(\left(\frac\pi4+(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac\pi2(2k+n);\ \frac\pi4-(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac\pi2(2k-n)\right)\)

в) \( \begin{cases} cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end{cases} \)
Используем формулу произведения косинусов: $$ cosxcosy=\frac12(cos(x+y)+cos(x-y)) $$ Получаем: \begin{gather*} cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}=\frac12\left(cos\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right)+cos\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}\right)\right)=\\ =\frac12(cosx+cosy)\\ \begin{cases} \frac12(cosx+cosy)=\frac12\\ cosxcosy=\frac14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} cosx+cosy=1\\ cosxcosy=\frac14 \end{cases} \end{gather*} Замена переменных: \(a=cosx,\ b=cosy\) \begin{gather*} \begin{cases} a+b=1\\ ab=\frac14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1-b\\ (1-b)b=\frac14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1-b\\ b^2-b+\frac14=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1-b\\ \left(b-\frac12\right)^2=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=\frac12\\ b=\frac12 \end{cases} \end{gather*} Возвращаемся к исходным переменным: \begin{gather*} \begin{cases} cosx=\frac12\\ cosy=\frac12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end{cases} \end{gather*} Получаем четыре пары решений.
Ответ: \( \left\{ \begin{array}{l l} \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\\ \left(-\frac\pi3+2\pi k;\ \frac\pi3+2\pi n\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi k;\ -\frac\pi3+2\pi n\right) \end{array} \right\} \)

г) \( \begin{cases} x+y=\frac23\\ 2cos(\pi x)+4cos(\pi y)=3 \end{cases} \)
Из верхнего линейного уравнения выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем в нижнее: \begin{gather*} \begin{cases} y=\frac23-x\\ 2cos(\pi x)+4cos\left(\pi\left(\frac23-x\right)\right)=3 \end{cases} \end{gather*} Решаем полученное уравнение относительно \(x\): \begin{gather*} 2cos(\pi x)+4cos\left(\frac{2\pi}{3}-\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+4\left(cos\frac{2\pi}{3}cos\pi x+sin\frac{2\pi}{3}sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)+\left(\left(-\frac12\right)cos\pi x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin\pi x\right)=3\\ 2cos(\pi x)-2cos(\pi x)+2\sqrt{3}sin\pi x=3\\ sin\pi x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \pi x= \left[ \begin{array}{l l} \frac\pi3+2\pi k\\ \frac{2\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \Rightarrow x= \left[ \begin{array}{l l} \frac13+2k\\ \frac23+2k \end{array} \right. \end{gather*} Получаем две пары решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=\frac13+2k\\ y=\frac23-x=\frac13-2k \end{cases} \\ \begin{cases} x=\frac23+2k\\ y=-2k \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\left(\frac13+2k;\ \frac13-2k\right),\ \left(\frac23+2k;\ -2k\right)\right\}\)

Пример 2*.Решите систему уравнений:
a) \( \begin{cases} \sqrt{cos2x}cosx=0\\ 2sin^2x-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end{cases} \)
Первое уравнение является независимым. Решаем его, чтобы найти \(x\): \begin{gather*} \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} cos2x=0\\ cosx=0 \end{array} \right.\\ cos2x\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} 2x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end{array} \right.\\ -\frac\pi2+2\pi k\leq 2x\leq\frac\pi2+2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2}\\ x=\frac\pi2+\pi k \end{array} \right.\\ -\frac\pi4+\pi k\leq x\leq\frac\pi4+\pi k \end{cases} \end{gather*}

Семейство решений \(x=\frac\pi2+\pi k\) не подходит по требованию ОДЗ (закрашенные сектора). Остается только: \begin{gather*} x=\frac\pi4+\frac{\pi k}{2} \end{gather*}

Подставляем полученный \(x\) во второе уравнение: \begin{gather*} 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac{\pi k}{2}\right)-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0 \end{gather*} Используем формулу понижения степени: \(2sin^2x=1-cos2x\) \begin{gather*} 2sin^2\left(\frac\pi4+\frac{\pi k}{2}\right)=1-cos\left(2\left(\frac\pi4+\frac{\pi k}{2}\right)\right)=1-\underbrace{cos\left(\frac\pi2+\pi k\right)}_{=0}=1 \end{gather*} Получаем: \begin{gather*} 1-cos\left(2y-\frac\pi3\right)=0\Rightarrow cos\left(2y-\frac\pi3\right)=1\Rightarrow 2y-\frac\pi3=2\pi n\Rightarrow\\ \Rightarrow 2y=\frac\pi3+2\pi n\Rightarrow y=\frac\pi6+\pi n \end{gather*} Ответ: \(\left(\frac\pi4+\frac{\pi k}{2};\ \frac\pi6+\pi n\right)\)

б) \( \begin{cases} tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt{2}cos^3y\\ tg\left(\frac\pi4-x\right)=2\sqrt{2}sin^3y \end{cases} \)
Рассмотрим произведение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)\cdot tg\left(\frac\pi4-x\right)=\frac{1+tgx}{1-tgx}\cdot \frac{1-tgx}{1+tgx}=1 $$ Умножим уравнения и получим: \begin{gather*} 1=8cos^3ysin^3y=(2cosysiny)^3=sin^32y\Rightarrow sin2y=1\Rightarrow 2y=\frac\pi2+2\pi k\\ y=\frac\pi4+\pi k \end{gather*} Поставляем полученный y в первое уравнение: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt{2}cos^3\left(\frac\pi4+\pi k\right) $$ Косинус равен ±1, в зависимости от четверти, в которой находится угол \(y\): \begin{gather*} cos\left(\frac\pi4+\pi k\right)= \left[ \begin{array}{l l} \frac{\sqrt{2}}{2},\ \ y=\frac{\pi}{4}+2\pi k\\ -\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ y=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} В первом случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3=1\Rightarrow\frac\pi4+x=\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=\pi n $$ Во втором случае: $$ tg\left(\frac\pi4+x\right)=2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3=-1\Rightarrow\frac\pi4+x=-\frac\pi4+\pi n\Rightarrow x=-\frac\pi2+\pi n $$ Получаем две пары решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=\pi n\\ y=\frac\pi4+2\pi k \end{cases} \\ \begin{cases} x=-\frac\pi2+\pi n\\ y=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \end{cases} \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\left(\pi n;\ \frac\pi4+2\pi k\right),\ \left(-\frac\pi2+\pi n;\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right)\right\}\)

в) \begin{gather*} \begin{cases} \sqrt{1+sinxsiny}=cosx\\ 2sinxctgy+1=0 \end{cases} \end{gather*} ОДЗ: \( \begin{cases} 1+sinxsiny\geq 0\\ cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} cosx\geq 0\\ cosy\ne 0 \end{cases} \)
\(1+sinxsiny\geq 0\) - это требование всегда выполняется.
Возведем первое уравнение в квадрат: \begin{gather*} 1+sinxsiny=cos^2x\Rightarrow 1-cos^2x+sinxsiny=0\Rightarrow\\ \Rightarrow sin^2x+sinxsiny=0\Rightarrow sinx(sinx+siny)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} sinx=0\\ sinx+siny=0 \end{array} \right. \end{gather*} Из второго уравнения следует, что \(sinx=0\) никогда не является решением \((0+1\ne 0)\). Значит, остается \(sinx+siny=0\) \begin{gather*} \begin{cases} sinx+siny=0\\ 2sinxctgy+1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} siny=-sinx\\ ctgy=-\frac{1}{2sinx} \end{cases} \Rightarrow cosy=siny\cdot ctgy=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow y=\pm arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac\pi3+2\pi k\\ sinx=-siny\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=y+\pi=\pi\pm\frac\pi3+2\pi n= \left[ \begin{array}{l l} \frac{4\pi}{3}+2\pi n\\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n \end{array} \right. \\ x=-y=\pm\frac\pi3+2\pi n \end{array} \right. \end{gather*} По ОДЗ \(cosx\geq 0\), подходят только нижние корни.
Получаем две пары решений.
Ответ: \(\left\{\left(-\frac\pi3+2\pi n;\ \frac\pi3+2\pi k\right),\ \left(\frac\pi3+2\pi n;\ -\frac\pi3+2\pi k\right)\right\}\)