Простейшие тригонометрические уравнения

п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах.

Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:

Например:

\begin{gather*} sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=(-1)^k arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi k=(-1)^k\frac\pi4+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

\begin{gather*} ctgx=3\\ x=arcctg3+\pi k\Leftrightarrow x=arctg\frac13+\pi k \end{gather*}

п.2. Решение уравнений с квадратом тригонометрической функции

К простейшим также можно отнести уравнения вида:

Например:

\begin{gather*} cos^x=\frac14\\ x=\pm arccos\frac12+\pi k=\pm\frac\pi3+\pi k \end{gather*}

\begin{gather*} tg^2x=1\\ x=\pm arctg1+\pi k=\pm\frac\pi4+\pi k \end{gather*}

п.3. Различные формы записи решений

Как известно, в тригонометрии все функции связаны между собой базовыми отношениями (см. §12 данного справочника). Если нам известна одна из функций, мы можем без труда найти все остальные. Преобразования в уравнениях приводят к тому, что решение может быть записано через любую из этих функций.
Кроме того, понижение степени или универсальная подстановка (см. §15 данного справочника) приводят к увеличению или уменьшению исходного угла в 2 раза, и ответ может оказаться очень непохожим на решения, полученные другими способами для того же уравнения.

Например:

Решим уравнение \(sin^2x=0,64\) Для квадрата синуса решение имеет вид: \begin{gather*} x=\pm arcsin\sqrt{0,64}+\pi k=\\ =\pm arcsin0,8+\pi k \end{gather*} На числовой окружности этому решению соответствуют 4 базовых точки, которые можно представить по-разному: \begin{gather*} x=\pm arcsin0,8+\pi k=\\ =\pm arccos0,6+\pi k=\\ =\pm arctg\frac43+\pi k \end{gather*}

Если решать уравнение с помощью формулы понижения степени, получаем: \begin{gather*} sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}=0,64\Rightarrow 1-cos2x=1,28\Rightarrow cos2x=-0,28\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos(-0,28)+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac12 arccos(-0,28)+\pi k \end{gather*} Если же решать уравнение с помощью универсальной подстановки: \begin{gather*} sin^2x=\left(\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}\right)^2=0,64\Rightarrow\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\pm 0,8\Rightarrow 1+tg^2\frac{x}{2}=\pm 2,5tg\frac{x}{2}\Rightarrow\\ \left[ \begin{array}{l l} tg^2\frac{x}{2}+2,5tg\frac{x}{2}+1=0\\ tg^2\frac{x}{2}-2,5tg\frac{x}{2}+1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \left(tg\frac{x}{2}+2\right)\left(tg\frac{x}{2}+\frac12\right)=0\\ \left(tg\frac{x}{2}-2\right)\left(tg\frac{x}{2}-\frac12\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} tg\frac{x}{2}=\pm 2\\ tg\frac{x}{2}=\pm\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm arctg2+2\pi k\\ x=\pm 2arctg\frac12+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) \(sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Обычный способ: \begin{gather*} x=(-1)^k arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\pi k=(-1)^k\frac\pi3 +\pi k \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi3+2\pi k\\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} 2 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: \begin{gather*} sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}\Rightarrow 1+tg^2\frac{x}{2}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{\sqrt{3}/2}\Rightarrow tg^2\frac{x}{2}-\frac{4}{\sqrt{3}}tg\frac{x}{2}+1=0\\ D=\left(-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2-4=\frac{16}{3}-4=\frac43,\ \ tg\frac{x}{2}=\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}\pm\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} tg\frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ tg\frac{x}{2}=\sqrt{3} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l l} \frac{x}{2}=\frac\pi6+\pi k\\ \frac{x}{2}=\frac\pi3+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac\pi3+2\pi k\\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi3+\pi k \end{gather*} Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \((-1)^k\frac\pi3+\pi k\)

б) \(cos2x=\frac12\)

Обычный способ: \begin{gather*} 2x=\pm arccos\frac12+2\pi k\Rightarrow\\ x=\pm\frac12\left(arccos\frac12+2\pi k\right)=\\ =\pm\frac12\cdot\frac\pi3+\pi k=\pm\frac\pi6+\pi k \end{gather*} 4 базовых точки на числовой окружности.

Универсальная подстановка: \begin{gather*} cos2x=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}=\frac12\Rightarrow 2(1-tg^2x)=1+tg^2x\Rightarrow 3tg^2x=1\Rightarrow tgx=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end{gather*} Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\pm\frac\pi6+\pi k\)

в) \(sin\left(\frac{x}{2}+\frac\pi3\right)=1\)
Обычный способ: \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac\pi3=\frac\pi2+2\pi k\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac\pi2-\frac\pi3+2\pi k=\frac\pi6+2\pi k\Rightarrow x=\frac\pi 3+4\pi k \end{gather*} Одна базовая точка на числовой окружности с периодом \(4\pi\).
Универсальная подстановка: \begin{gather*} sin\left(\frac{x}{2}+\frac\pi3\right)=\frac{2tg\frac{\frac{x}{2}+\frac\pi3}{2}}{1+tg^2\frac{\frac{x}{2}+\frac\pi3}{2}}=1\Rightarrow tg^2\left(\frac{x}{4}+\frac\pi6\right)-2tg\left(\frac{x}{4}+\frac\pi6\right)-2tg\left(\frac{x}{4}+\frac\pi6\right)+1=0\Rightarrow\\ \left(tg\left(\frac{x}{4}+\frac\pi6\right)-1\right)^2=0\Rightarrow tg\left(\frac{x}{4}+\frac\pi6\right)=1\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac\pi6=\frac{\pi}{4}+\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow \frac{x}{4}=\frac\pi4-\frac\pi6+\pi k\Rightarrow \frac{x}{4}=\frac{\pi}{12}+\pi k\Rightarrow x=\frac\pi3+4\pi k \end{gather*} Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\frac\pi3+4\pi k\)

г*) \(tg\left(3x+\frac\pi3\right)=0\)
Обычный способ: \begin{gather*} 3x+\frac\pi3=arctg0+\pi k=\pi k\Rightarrow 3x=-\frac\pi3+\pi k\Rightarrow x=-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3} \end{gather*} Универсальная подстановка: \begin{gather*} tg\left(3x+\frac\pi3\right)=\frac{2tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}}{1-tg^2\frac{3x+\frac\pi3}{2}}=0\Rightarrow tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}=0\Rightarrow\frac{3x+\frac\pi3}{2}=\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x+\frac\pi3=2\pi k=3x=-\frac\pi3+2\pi k\Rightarrow=-\frac\pi9+\frac{2\pi}{3} \end{gather*} При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: \(tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}\rightarrow\infty\) - значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: \begin{gather*} \frac{3x+\frac\pi3}{2}=\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pi+2\pi k\Rightarrow 3x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3} \end{gather*} Таким образом, мы получили два семейства решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \end{gather*} Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения \(k\): \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-20^{\circ}+120^{\circ}k=\left\{...,-20^{\circ},100^{\circ},220^{\circ},...\right\}\\ x=40^{\circ}+120^{\circ}k=\left\{...,40^{\circ},160^{\circ},280^{\circ},..\right\} \end{array} \right. \end{gather*} Теперь представим полученное обычным способом решение в градусах: $$ x=-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3}=-20^{\circ}+60^{\circ}k=\left\{...,-20^{\circ},40^{\circ},100^{\circ},160^{\circ},220^{\circ},280^{\circ},...\right\} $$ Получаем, что: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3} \end{gather*} Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Ответ: \(-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3}\)

Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса \(\frac{x}{2}=\frac\pi2+\pi k\), т.е. \(x=\pi+2pi k\) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно.

Пример 2.Решите уравнение обычным способом и с помощью формул понижения степени. Сравните полученные ответы и множества решений. Сделайте вывод.
a) \(sin^2x=\frac34\)

Обычный способ: \begin{gather*} x=\pm arcsin\sqrt{\frac34}+\pi k=\pm arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+\pi k=\pm\frac\pi3+\pi k \end{gather*}

Формулы понижения степени: \begin{gather*} sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}=\frac34\Rightarrow 1-cos2x=\frac32\Rightarrow cos2x=-\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow 2x=\pm arccos\left(-\frac12\right)+2\pi k=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\pm\frac\pi3+\pi k \end{gather*} Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\pm\frac\pi3+\pi k\)

б) \(cos^2 2x=1\)

Обычный способ: \begin{gather*} 2x=\pm arccos\sqrt{1}+\pi k=\pm 0+\pi k=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Формулы понижения степени: \begin{gather*} cos^2 2x=\frac{1+cos4x}{2}=1\Rightarrow 1+cos4x=2\Rightarrow\\ cos4x=1\Rightarrow 4x=0+2\pi k=2\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*}

Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(\frac{\pi k}{2}\)

в) \(sin^2\left(\frac{x}{2}+\frac\pi3\right)=\frac14\)

Обычный способ: \begin{gather*} \frac{x}{2}+\frac\pi3=\pm arcsin\sqrt{\frac14}+\pi k=\pm arcsin\frac12+\pi=\pm\frac\pi6+\pi k\\ \frac{x}{2}=-\frac\pi3\pm\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} \frac\pi2+\pi k\\ -\frac\pi6+\pi k \end{array} \right. \Rightarrow x= \left[ \begin{array}{l l} -\pi+2\pi k\\ -\frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*}

Формулы понижения степени: \begin{gather*} sin^2\left(\frac{x}{2}+\frac\pi3\right)=\frac{1-cos\left(2\left(\frac{x}{2}+\frac\pi3\right)\right)}{2}=\frac14\Rightarrow 1-cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12\Rightarrow\\ \Rightarrow cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac12\Rightarrow x+\frac{2\pi}{3}=\pm arccos\left(\frac12\right)+2\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow x=-\frac{2\pi}{3}\pm\frac\pi3+2\pi k= \left[ \begin{array}{l l} -\pi+2\pi k\\ -\frac\pi3+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Ответы и множества решений совпадают.
Ответ: \(-\pi+2\pi k,\ \ -\frac\pi3+2\pi k\)

г) \(tg^2\left(x+\frac\pi4\right)=1\)

Обычный способ: \begin{gather*} x+\frac\pi4=\pm arctg\sqrt{1}+\pi k=\pm\frac\pi4+\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow x=-\frac\pi4\pm\frac\pi4+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end{array} \right. \end{gather*}

Формулы понижения степени: \begin{gather*} cos^2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{1}{1+\underbrace{tg^2\left(x+\frac\pi4\right)}_{=1}}=\frac12\\ cos^2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{1+cos\left(2\left(x+\frac\pi4\right)\right)}{2}=\frac12 \Rightarrow cos\left(2x+\frac\pi2\right)=0\Rightarrow\\ \Rightarrow -sin2x=0\Rightarrow sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Из чертежа видно, что \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными.
Ответ: \(\frac{\pi k}{2}\)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.