Простейшие тригонометрические неравенства

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства \(sinx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой \(a\). Провести горизонталь \(y=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(sin⁡x=a\). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((arcsina+2\pi k;\ \pi-arcsin a+2\pi k)\)

Например:

$$ sin x\gt \frac12 $$ 1. Проводим горизонталь \(y=\frac12\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(sinx=\frac12\) \begin{gather*} x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} \frac\pi6+2\pi k\\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Подписываем точку справа \(\frac\pi6\) и точку слева \(\frac{5\pi}{6}\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \((\frac\pi6;\ \frac{5\pi}{6})\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(sinx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(sin⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью \(y=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве \(sin⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(sin⁡x\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

Например:

$$ sin x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ 1. Проводим горизонталь \(y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое). 2. Решаем уравнение \(sinx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \begin{gather*} x=(-1)^k\left(-\frac\pi4\right)+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} -\frac{3\pi}{4}+2\pi k\\ -\frac{\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Подписываем точку справа \(-\frac{3\pi}{4}\) и точку слева \(-\frac{\pi}{4}\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: \(\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]\). Добавляем к концам отрезка полный период. Ответ: \(\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right]\)

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства \(cosx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой \(a\). Провести вертикаль \(x=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(cos⁡x=a\). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((-arccos⁡a+2\pi k;\ arccos⁡a+2\pi k)\)

Например:

$$ cosx\gt \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 1. Проводим вертикаль \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \begin{gather*} x=\pm\frac\pi6+2\pi k \end{gather*} Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6\) и точку сверху \(\frac{\pi}{6}\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi6\right)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(cosx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(cosx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали \(x=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве \(cos⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(cosx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства \(tgx\gt a\)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой \(a\). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(tg⁡x=a\). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до \(\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow +\infty\)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \(\left(arctga+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\)

Например:

$$ tg x\gt -\frac{1}{\sqrt{3}} $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Проводим луч из начала координат через эту точку. 2. Решаем уравнение \(tgx=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \begin{gather*} x=-\frac\pi6+\pi k \end{gather*} Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6.\) Верхней границей интервала будет \(\frac\pi2\), угол, в котором \(tgx\rightarrow +\infty .\) 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi2\right)\). Добавляем к концам интервала период для тангенса. Строго говоря, на числовой окружности длиной \(2\pi\) получим две дуги для тангенса с периодом \(\pi\). Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(tg⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки \(-\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow -\infty\)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки \(\pm\frac\pi2\) (\(tgx\rightarrow \pm\infty\)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида \(ctgx\gt a\) пределу \(ctgx\rightarrow +\infty\) соответствует угол 0.

В неравенствах вида \(ctgx\lt a\) пределу \(ctgx\rightarrow -\infty\) соответствует угол \(\pi\).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) \(sinx\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\) $$ x\in\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k\right] $$	б) \(cosx\lt -\frac{1}{2}\) $$ x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k\right) $$
в) \(sinx\gt -\frac{\sqrt{3}}{2}\) $$ x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k\right] $$	г) \(tgx\geq 1\) $$ x\in\left.\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\pi k\right.\right] $$

Пример 2*. Решите неравенства:

	a) \(cosx\gt -1\) Справа от вертикали \(x=-1\) расположена вся числовая окружность, кроме точки \(\pi\). Ответ: \(x\ne \pi+2\pi k\)
	б) \(4cos^2\frac x2-3\leq 0\) \(4\cdot \frac{1+cosx}{2}\leq 3\) \(2+2cosx\leq 3\) \(cosx\leq\frac12\) Ответ: \(\left[\frac\pi3+2\pi k;\ \frac{5\pi}{3}+2\pi k\right]\)

в) \(-\sqrt{3}\lt tgx\leq 5\)
\(-arctg\sqrt{3}+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
\(-\frac\pi3+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
Ответ: \(\left.\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\ arctg5+\pi k\right.\right]\)

г) \(tg\left(x-\frac\pi4\right)\gt\sqrt{3}\)
\(arctg\sqrt{3}+\pi k\lt x-\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac\pi4+\frac\pi3+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac{7\pi}{12}+\pi k\lt x\lt\frac{3\pi}{4}+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac{7\pi}{12}+\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+\pi k\right)\)