Производные тригонометрических функций

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции \(f(x)=sin⁡x\) по общему алгоритму.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin{gather*} \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=sin⁡(x+\triangle x)-sin⁡x=\\ =2sin⁡\frac{x+\triangle x-x}{2}cos\frac{x+\triangle x+x}{2}=2sin\frac{\triangle x}{2}cos\frac{2x+\triangle x}{2} \end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): \begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 \end{gather*} Ищем производную: \begin{gather*} f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{2sin\frac{\triangle x}{2}cos\frac{2x+\triangle x}{2}}{\triangle x}=\underbrace{\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}\right)}_{=1}\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}cos\frac{2x+\triangle x}{2}=\\ =1\cdot cos\frac{2x+0}{2}=cos x \end{gather*} Или: \((sinx)'=cos x\)

Например:
\((x^2sinx)'=(x^2)'\cdot sinx+x^2\cdot (sinx)'=2xsinx+x^2cosx\)

п.2. Производная косинуса

Найдем производную функции \(f(x)=cos⁡x\) по общему алгоритму.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin{gather*} \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=cos⁡(x+\triangle x)-cos⁡x=\\ =-2sin⁡\frac{x+\triangle x-x}{2}sin{x+\triangle x+x}{2}=-2sin\frac{\triangle x}{2}sin\frac{2x+\triangle x}{2} \end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: \begin{gather*} f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{-2sin\frac{\triangle x}{2}sin\frac{2x+\triangle x}{2}}{\triangle x}=\underbrace{-\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{sin\frac{\triangle x}{2}}{\frac{\triangle x}{2}}\right)}_{=1}\cdot \lim_{\triangle x\rightarrow 0}sin\frac{2x+\triangle x}{2}=\\ =-1\cdot sin\frac{2x+0}{2}=-sinx \end{gather*} Или: \((cosx)'=-sinx\)

Например:
\((\sqrt{x}cosx)'=(\sqrt{x})'\cdot cosx+\sqrt{x}\cdot (cosx)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}cosx-\sqrt{x}sinx \)

п.3. Производная тангенса и котангенса

Производные от тангенса и котангенса найдем с помощью формулы производной частного двух функций (см. §43 данного справочника). \begin{gather*} (tgx)'=\left(\frac{sinx}{cosx}\right)'=\frac{(sinx)'cosx-sinx(cosx)'}{cos^2x}=\\ =\frac{cosxcosx-sinx(-sinx)}{cos^2x}=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=\frac{1}{cos^2x} \end{gather*} Аналогично: \begin{gather*} (ctgx)'=\left(\frac{cosx}{sinx}\right)'=\frac{(cosx)'sinx-cosx(sinx)'}{sin^2x}=\\ =\frac{sinx(-sinx)-cosxcosx}{sin^2x}=\frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-\frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=-\frac{1}{sin^2x} \end{gather*}
Как видно из результатов, производные тангенса и котангенса имеют те же ограничения по ОДЗ, что и сами функции.

Например:
\( \left(\frac{tgx}{x}\right)'=\frac{(tgx)'\cdot x-tgx\cdot(x)'}{x^2}=\frac{\frac{x}{cos^2x}-tgx}{x^2}=\frac{x-tgx\cdot cos^2x}{x^2cos^2x}=\frac{x-sinxcosx}{x^2cos^2x} \)

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) \( f(x)=2sinx-5x \) \begin{gather*} f'(x)=2\cdot sin'x-5\cdot x'=2cosx-5 \end{gather*}

б) \( f(x)=3\sqrt{x}ctgx \) \begin{gather*} f'(x)=3\left((\sqrt{x})'\cdot ctgx+\sqrt{x}(ctgx)'\right)=3\left(\frac{ctgx}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{sin^2x}\right) \end{gather*}

в) \( f(x)=9cosx-3tgx \) \begin{gather*} f'(x)=9\cdot cos'x-3\cdot tg'x=-9sinx-\frac{3}{cos^2x} \end{gather*}

г) \( f(x)=\frac{2x}{sinx} \) \begin{gather*} f'(x)=2\frac{(x)'\cdot sinx-x\cdot sin'x}{sin^2x}=\frac{2(sinx-xcosx)}{sin^2x} \end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) \( f(x)=sinx+cosx,\ x_0=\frac\pi 4 \) \begin{gather*} f'(x)=sin'x+cos'x=cosx-sinx\\ f'(\frac\pi 4)=cos\frac\pi 4-sin\frac\pi 4=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \end{gather*}

б) \( f(x)=tgx-5cosx,\ x_0=\pi \) \begin{gather*} f'(x)=tg'x-5cos'x=\frac{1}{cos^2x}+5sinx\\ f'(\pi)=\frac{1}{cos^2\pi}+5sin\pi=1+0=1 \end{gather*}

в) \( f(x)=sinxcosx,\ x_0=\frac{\pi}{12} \) \begin{gather*} f'(x)=sin'xcosx+sinxcos'x=cos^2x-sin^2x=cos2x\\ f'\left(\frac{\pi}{12}\right)=cos\left(2\cdot\frac{\pi}{12}\right)=cos\frac\pi 6=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gather*}

г) \( f(x)=\frac{x}{cosx},\ x_0=\pi \) \begin{gather*} f'(x)=\frac{x'\cdot cosx-xcos'x}{cos^2x}=\frac{cosx+xsinx}{cos^2x}\\ f'(\pi)=\frac{cos\pi+\pi sin\pi}{cos^2\pi}=\frac{-1+\pi\cdot 0}{(-1)^2}=-1 \end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение:
a) \( y'\cdot y+y^2=0\), если \(y=3cosx\)
\(y'=3\cdot cos'x=-3sinx\)
Подставляем: \begin{gather*} -3sinx\cdot 3cosx+(3cosx)^2=0\\ -9sincosx+9cos^2x=0\\ 9cosx(cosx-sinx)=0 \end{gather*} Уравнение: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l} cosx=0\\ cosx-sinx=0\ |:cosx \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 2+\pi k\\ 1-tgx=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 2+\pi k\\ tgx=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac\pi 2+\pi k\\ x=\frac\pi 4+\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Ответ: \(\left\{\frac\pi 2+\pi k;\ x=\frac\pi 4+\pi k\right\}\)

б) \( (y')^2+y^2=1\), если \(y=1-cosx\)
\(y'=1'-cos'x=0+sinx=sinx\)
Подставляем: \begin{gather*} sin^2x+(1-cosx)^2=1\\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\\ 1-2cosx=0\\ cosx=\frac12\\ x=\pm\frac\pi 3+2\pi k \end{gather*} Ответ: \(\left\{\pm\frac\pi 3+2\pi k\right\}\)