Производные показательной, логарифмической и степенной функции

п.1. Производная функции \(y=e^x\)

Найдем производную функции \(f(x)=e^x\) по общему алгоритму.
Пусть \(\triangle x\) - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: $$ \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=e^{x+\triangle x}-e^x=e^x\cdot e^{\triangle x}-e^x=e^x(e^{\triangle x}-1) $$ Используем следствие из второго замечательного предела (см. §39 данного справочника): $$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 $$ Ищем производную: $$ f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{e^x(e^{\triangle x}-1)}{\triangle x}=e^x\underbrace{\left(\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{e^{\triangle x}-1}{\triangle x}\right)}_{=1}=e^x $$ Или: \((e^x)'=e^x\)

Например:
\( (e^xsinx)'=(e^x)'\cdot sinx+e^x\cdot (sinx)'=e^xsinx+e^xcosx=e^x(sinx+cosx) \)

п.2. Производная показательной функции \(y=a^x\)

Найдем производную функции \(f(x)=a^x\), используя полученный результат для экспоненты и теорему о производной сложной функции (см. §45 данного справочника).
Преобразуем основание, используя логарифмическое тождество: $$ a^x=\left(e^{\ln a}\right)^x=(e^x)^{\ln a} $$ Получаем сложную функцию с цепочкой отображений: \(x\rightarrow e^x\rightarrow \boxdot^{\ln a}\)

Производная сложной функции равна произведению: $$ f'(x)=\ln a\cdot(e^x)^{\ln a-1}\cdot e^x=\ln a\cdot e^{x\ln a-x+x}=\ln a\cdot e^{x\ln a}=\ln a\cdot (e^{\ln a})^x=a^x\ln a $$ Или: \((a^x)'=a^x\ln a\)

Например:
\begin{gather*} (2^xsinx)'=(2x)'\cdot sinx+2^x\cdot(sinx)'=2^x\cdot\ln 2\cdot sinx+2^x cosx=\\ =2^x(\ln 2\cdot sinx+cosx) \end{gather*}

п.3. Производная логарифмической функции

Найдем производную натурального логарифма \(f(x)=\ln⁡ x\)
Для всех \(x\gt 0, e^{\ln ⁡x}=x\). Значит: \((e^{\ln ⁡x} )'=x'=1\)

\(e^{\ln x}\)– это сложная функция с цепочной отображений: \(x\rightarrow \ln x\rightarrow e^{\boxdot}\)

Производная сложной функции равна произведению: $$ (e^{\ln x})'=e^{\ln x}\cdot (\ln x)'=x\cdot (\ln x)' $$ Откуда: $$ (\ln x)'=\frac{(e^{\ln x})'}{x}=\frac1x $$

Для логарифма с основанием a по формуле перехода к другому основанию: $$ (\log_a x)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=\frac{1}{\ln a}(\ln x)'=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac1x=\frac{1}{x\ln a} $$

Например:
Найдем производную \(f(x)=\ln⁡(2x+1)\)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (2x+1)\rightarrow\ln\boxdot\)
Производная: \(f'(x)=(\ln⁡(2x+1) )'=\frac{1}{2x+1}\cdot (2x+1)'=\frac{2}{2x+1}\)

п.4. Производная степенной функции с действительным показателем

В §43 данного справочника была доказана формула для производной степенной функции с натуральным показателем: $$ (x^n)'=nx^{n-1},\ n\in\mathbb{N} $$ Теперь рассмотрим степенную функцию с действительным показателем: $$ y=x^a,\ a\in\mathbb{R} $$ 1. Пусть \(x\gt 0\).
Преобразуем выражение: \(x^a=(e^{\ln ⁡x})^a=e^{a\ln ⁡x}\)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow a\ln x\rightarrow e^\boxdot\)
Берем производную от сложной функции: $$ (x^a)'=(e^{a\ln x})'=e^{a\ln x}\cdot (a\ln x)'=e^{a\ln x}\cdot\frac ax=(e^{\ln x})^a\cdot \frac ax=x^a\cdot\frac ax=ax^{a-1} $$ Формула доказана.
2. Пусть \(x=0\).
В этом случае степенная функция определена для \(a\gt 0\).
По определению производной в данном случае: $$ f'(x)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{(x+\triangle x)^a-x^a}{\triangle x} $$ При \(x=0,\ a\gt 0,\ \triangle x\gt 0\): $$ f'(0)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{(0+\triangle x)^a-0^a}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{(\triangle x)^a}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}(\triangle x)^{a-1} $$ При \(a\gt 1\) получаем \(f'(0)=0^{a-1}=0\)
При \(0\lt a\lt 1\) получаем \(f'(0)=0^{a-1}=\frac{1}{0^{1-a}}=+\infty\)
Этот результат равносилен формуле \((x^a)'=ax^{a-1}\).
Т.е., случай \(x=0,\ a\gt 0\) можно включить в общую формулу.
3. Пусть \(x\lt 0\)
Для рациональной степени \(a=\frac mn\in\mathbb{Q}\) при нечетном n степенная функция определена и на отрицательных x (например, для \(y=\sqrt[3]{x},\ x \in \mathbb{R}\)).
Тогда \(-x\gt 0\) и \(y=x^a=\left((-1)(-x)\right)^a=(-1)^a(-x)^a\) \begin{gather*} (x^a)'=((-1)^a(-x)^a)'=(-1)^a\cdot ((-x)^a)'=(-1)^a\cdot a(-x)^{a-1}\cdot (-x)'=\\ =(-1)^{a+1}\cdot a\left((-1)x\right)^{a-1}=(-1)^{a+1+a-1}\cdot ax^{a-1}=(-1)^{2a}\cdot ax^{a-1}=\\ =((-1)^2)^a\cdot ax^{a-1}=1\cdot ax^{a-1}=ax^{a-1} \end{gather*} Формула доказана и для этого случая.

Например:
Найдем производную для \(f(x)=\left(2x^5\sqrt{x}+\frac{7}{\sqrt[7]{x}}-3\right)^5\)
Т.к. в выражении есть \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt[7]{x}\) в знаменателе, ОДЗ: \(x\gt 0\).
Можем применить формулу для производной степенной функции при любом \(a\in\mathbb{R}\).
Получаем: $$ \left(2x^5\sqrt{x}+\frac{7}{\sqrt[7]{x}}-3\right)^5=\left(2x^{5+\frac12}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)^5=\left(2x^{\frac{11}{2}}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)^5 $$ Цепочка отображений: \(x\rightarrow \left(2x^{\frac{11}{2}}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)\rightarrow\boxdot^5\) \begin{gather*} f'(x)=5\left(2x^{\frac{11}{2}}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)^4\cdot \left(2x^{\frac{11}{2}}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)'=\\ =5\left(2x^{\frac{11}{2}}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)^4\cdot \left(2\cdot\frac{11}{2}x^{\frac{11}{2}-1}+7\cdot\left(-\frac17\right)\cdot x^{-\frac17-1}-0\right)=\\ =5\left(2x^{\frac{11}{2}}+7\cdot x^{-\frac17}-3\right)^4\cdot\left(11x^{\frac92}-x^{-\frac87}\right)=5\left(2x^5\sqrt{x}+\frac{7}{\sqrt[7]{x}}-3\right)^4\left(11x^4\sqrt{x}-\frac{1}{x\sqrt[7]{x}}\right) \end{gather*}

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите производную функции:
a) \( y=e^{x^2+2} \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (x^2+2)\rightarrow e^\boxdot\)
Производная: \begin{gather*} y'=e^{x^2+2}\cdot(x^2+2)'=e^{x^2+2}\cdot 2x=2xe^{x^2+2} \end{gather*}
б) \( y=e^{x+sinx} \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (x+sinx)\rightarrow e^\boxdot\)
Производная: \begin{gather*} y'=e^{x+sinx}\cdot (x+sinx)'=e^{x+sinx}\cdot (1+cosx)=(1+cosx)e^{x+sinx} \end{gather*}
в) \( y=\ln(x^3+4) \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow (x^3+4)\rightarrow \ln\boxdot\)
Производная: \begin{gather*} y'=\frac{1}{x^3+4}\cdot(x^3+4)'=\frac{3x^2}{x^3+4} \end{gather*}
г) \( y=\ln(cos^2x-1) \)
Цепочка отображений: \(x\rightarrow cosx \rightarrow \boxdot^2-1\rightarrow \ln\boxdot\) \begin{gather*} y'=\frac{1}{cos^2x-1}\cdot(cos^2x-1)'=\frac{2cosx}{cos^2x-1}\cdot (cosx)'=-\frac{2sinxcosx}{cos^2x-1}=\\ =\frac{2sinxcosx}{sin^2x}=2ctgx \end{gather*}

Пример 2. Найдите производную функции:
a) \( y=\ln\left(\frac{x^2-5x}{x+1}\right) \)
Преобразуем логарифм: \( \ln\left(\frac{x^2-5x}{x+1}\right)=\ln\left(\frac{x(x-5)}{x+1}\right)=\ln x+\ln(x-5)-\ln(x+1) \)
Производная: \begin{gather*} y'=(\ln x+\ln(x-5)-\ln(x+1))'=\frac1x+\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x+1} \end{gather*}
б) \( y=\sqrt{e^{x+1}\sqrt[3]{e^{x-2}}} \)
Преобразуем экспоненту: $$ \sqrt{e^{x+1}\sqrt[3]{e^{x-2}}}=\left(e^{x+1}\cdot(e^{x-2})^{\frac13}\right)^{\frac12}=\left(e^{x+1+\frac x3-\frac23}\right)^\frac12=\left(e^{\frac{4x}{3}+\frac13}\right)^{\frac12}=e^{\frac{4x+1}{6}} $$ Производная: \begin{gather*} y'=\left(e^{\frac{4x+1}{6}}\right)'=e^{\frac{4x+1}{6}}\cdot\left(\frac{4x+1}{6}\right)'=\frac23e^{\frac{4x+1}{6}} \end{gather*}
в*) \( y=\frac{cos^2x+8}{\sqrt[7]{(sin^2x-9)^6}} \)
Преобразуем тригонометрическое выражение: $$ \frac{cos^2x+8}{\sqrt[7]{(sin^2x-9)^6}}=\frac{1-sin^2x+8}{\sqrt[7]{(sin^2x-9)^6}}=-\frac{sin^2x-9}{(sin^2x-9)^{\frac67}}=-(sin^2x-9)^{\frac17} $$ Цепочка отображений: \(x\rightarrow sinx\rightarrow (\boxdot^2-9)\rightarrow -\boxdot^{\frac17}\) \begin{gather*} y'=-\frac17(sin^2x-9)^{\frac17-1}\cdot(sin^2x-9)'=-\frac{2sinx}{7(sin^2x-9)^{\frac67}}\cdot sin'x=\\ =-\frac{2sinxcosx}{7(sin^2x-9)^{\frac67}}=-\frac{sin2x}{7(sin^2x-9)^{\frac67}} \end{gather*}
г*) \( y=5\lg(3x-1)\sqrt[5]{\lg^2(3x-1)} \)
Преобразуем выражение: $$ 5\lg(3x-1)\sqrt[5]{\lg^2(3x-1)}=5(\lg(3x-1))^{1+\frac25}=5(\lg(3x-1))^{\frac75} $$ Цепочка отображений: \(x\rightarrow (3x-1)\rightarrow \lg\boxdot\rightarrow 5(\boxdot)^{\frac75}\) \begin{gather*} y'=5\cdot\frac75(\lg(3x-1))^{\frac75-1}\cdot(\lg(3x-1))'=7\sqrt[5]{\lg^2(3x-1)}\cdot\frac{(3x-1)'}{(3x-1)\ln 10}=\\ =\frac{21}{\ln 10}\cdot\frac{\sqrt[5]{\lg^2(3x-1)}}{(3x-1)} \end{gather*}

Пример 3*. Решите неравенства:
a) \( f'(x)\gt g'(x),\) если \(f(x)=x+\ln(x-5),\ g(x)=\ln(x-1)\)
ОДЗ для исходных функций:
ОДЗ: \( \begin{cases} x-5\gt 0\\ x-1\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\gt 5\\ x\gt 1 \end{cases} \Rightarrow x\gt 5 \)
Производные: \begin{gather*} f'(x)=1+\frac{1}{x-5},\ \ g'(x)=\frac{1}{x-1} \end{gather*} Решаем неравенство: \begin{gather*} 1+\frac{1}{x-5}\gt\frac{1}{x-1}\Rightarrow 1+\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-1}\gt 0\\ \frac{(x-5)(x-1)+x-1-x+5}{(x-5)(x-1)}\gt 0\Rightarrow\frac{x^2-6x+5+4}{(x-5)(x-1)}\gt 0\\ \frac{(x-3)^2}{(x-5)(x-1)}\gt 0 \end{gather*} Квадрат скобки не влияет на знак, т.к. неравенство строгое, решаем систему (подробней о том, как избавиться от степени в неравенствах – см. §7 справочника для 9 класса): $$ \begin{cases} (x-5)(x-1)\gt 0\\ x\ne 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\lt 1\cup x\gt 5\\ x\ne 3 \end{cases} \Rightarrow x\lt 1\cup x\gt 5 $$ С учетом ОДЗ: \( \begin{cases} x\lt 1\cup x\gt 5\\ x\gt 5 \end{cases} \Rightarrow x\gt 5 \)
Ответ: \(x\in(5;+\infty)\)

б) \( f'(x)\lt g'(x),\) если \(f(x)=\frac{5^{2x+1}}{2},\ g(x)=4x\ln 5+5^x\)
ОДЗ не ограничена, \(x\in\mathbb{R}\)
Производные: \begin{gather*} f'(x)=\frac{\ln 5}{2}5^{2x+1}\cdot (2x+1)'=\frac{\ln 5}{2}5^{2x+1}\cdot 2=5^{2x+1}\ln 5\\ g'(x)=4\ln 5+5^x\ln 5=(4+5^x)\ln 5 \end{gather*} Подставляем: $$ 5^{2x+1}\ln 5\lt(4+5^x)\ln 5 $$ Т.к. \(5\gt 1,\ \ln 5\gt 0\), делим на него обе части неравенства: $$ 5^{2x+1}\lt 4+5^x\Rightarrow 5\cdot 5^{2x}-5^x-4\lt 0 $$ Замена: \(t=5^x\gt 0\) $$ 5t^2-t-4\lt 0\Rightarrow (5t+4)(t-1)\lt 0\Rightarrow \left(t+\frac45\right)(t-1)\lt 0 $$ Решаем систему: \begin{gather*} \begin{cases} \left(t+\frac45\right)(t-1)\lt 0\\ t\gt 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\frac45\lt t\lt 1\\ t\gt 0 \end{cases} \Rightarrow 0\lt t\lt 1 \end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной: $$ 0\lt 5^x\lt 1\Rightarrow 5^x\lt 5^0\Rightarrow x\lt 0 $$ Ответ: \(x\in(-\infty;0)\)